関手と関手の数え上げ

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

$S=\{0,1\}\times \{0,1\}$ に成分ごとの順序
$$(a,b)\le (a^{\prime },b^{\prime })⟺a\le a^{\prime }\text{かつ}b\le b^{\prime }$$
を入れた半順序集合を圏 $\mathcal{S}$ とみなし、$C=\{0,1,2\}$ に通常の大小の順序を入れた全順序集合を圏 $\mathcal{C}$ とみなす。関手 $F:\mathcal{S}\to \mathcal{C}$ の個数を求めよ。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

集合 $X=\{1,2,3,4\}$ の部分集合全体を包含関係 $\subseteq$ で順序づけた半順序集合を圏とみなしたものを $\mathcal{P}$ とし、$3$ つの元からなる全順序集合 $\{0<1<2\}$ を圏とみなしたものを $3$ とする。

関手 $F:3\to \mathcal{P}$ の個数を求めよ。ただし、2 つの関手は、対象への対応と射への対応がともに一致するときに限り同じとみなす。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

$P=\{0,1,2\}$ を通常の順序 $0<1<2$ で全順序集合とみなした圏とする。関手 $F:P\to P$ を対象とし、関手の間の自然変換を射とする関手圏を $[P,P]$ とする。

関手圏 $[P,P]$ の射（自然変換）の総数を求めよ。ただし、すべての対象の組 $(F,G)$ についての $F$ から $G$ への自然変換を合計し、恒等自然変換も数に含める。

$M$ をモノイド（積を $mn$、単位元を $e$ と書く）とする。集合 $A$ と写像 $M\times A\to A,(m,a)\mapsto m\cdot a$ の組で、すべての $m,n\in M,a\in A$ に対して $e\cdot a=a$ かつ $m\cdot (n\cdot a)=(mn)\cdot a$ を満たすものを左 $M$ 集合という。左 $M$ 集合を対象とし、$M$ 同変写像（$h(m\cdot a)=m\cdot h(a)$ を満たす写像 $h$）を射とする圏を $M\text{-}\mathbf{Set}$ とし、作用を忘れる関手を $U:M\text{-}\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ とする。

集合 $X$ に対し、$M$ から $X$ へのすべての写像の集合を $R(X)$ とし、$m\in M,f\in R(X)$ に対して $m\cdot f\in R(X)$ を
$$(m\cdot f)(n)=f(nm)(n\in M)$$
で定める。また、写像 $g:X\to Y$ に対し $R(g):R(X)\to R(Y)$ を $R(g)(f)=g\circ f$ で定める。

次を証明せよ: $R$ は関手 $\mathbf{Set}\to M\text{-}\mathbf{Set}$ を定め、左 $M$ 集合 $A$ と集合 $X$ に対して
$${\Phi }_{A,X}:{\mathrm{Hom}}_{M\text{-}\mathbf{Set}}(A,R(X))\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(U(A),X),{\Phi }_{A,X}(\phi )(a)=\phi (a)(e)$$
で定まる写像は全単射であり、$A$ と $X$ について自然である。すなわち $U$ は $R$ の左随伴である（$U⊣R$）。

集合 $X$ と二項演算 $X\times X\to X,(x,y)\mapsto x\ast y$ と元 $e\in X$ の組 $(X,\ast ,e)$ で、すべての $x,y\in X$ に対して $x\ast y=y\ast x$ かつ $e\ast x=x$ を満たすものを単位的可換マグマという（結合法則は仮定しない）。$(X,\ast ,e)$ から $(X^{\prime },{\ast }^{\prime },e^{\prime })$ への射を、$h(x\ast y)=h(x){\ast }^{\prime }h(y)$ と $h(e)=e^{\prime }$ を満たす写像 $h:X\to X^{\prime }$ とし、この圏を $\mathbf{CUMag}$ とする。

次の有限積スケッチ $\mathcal{S}$ を考える。
- グラフ: 頂点は $1,A,P$ の 3 つ。辺は
$$p_1,p_2:P\to A,m:P\to A,t:P\to P,u:1\to A,k:A\to 1,r:A\to P$$
の 7 本。
- 可換であるべき図式（道の等式。${\mathrm{id}}_A$ は長さ 0 の道）:
$$p_1\circ t=p_2,p_2\circ t=p_1,m\circ t=m,p_1\circ r={\mathrm{id}}_A,p_2\circ r=u\circ k,m\circ r={\mathrm{id}}_A.$$
- 錐: 頂点 $1$ をもつ空の図式上の錐 ${\lambda }_0$ と、頂点 $P$ をもち 2 つの頂点 $A,A$ からなる離散図式上の錐 ${\lambda }_2=(p_1,p_2)$ の 2 つ。

$\mathcal{S}$ の（集合の圏 $\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $v$ に集合 $M(v)$ を、各辺 $f:v\to w$ に写像 $M(f):M(v)\to M(w)$ を対応させたもので、上の 6 つの等式が写像の等式として成り立ち（${\mathrm{id}}_A$ は $M(A)$ の恒等写像と読む）、錐 ${\lambda }_0,{\lambda }_2$ を $\mathbf{Set}$ の極限錐に移すものとする。すなわち $M(1)$ は 1 点集合であり、写像 $c_M=(M(p_1),M(p_2)):M(P)\to M(A)\times M(A)$ は全単射である。モデル $M$ から $N$ への射とは、写像の族 ${\alpha }_v:M(v)\to N(v)(v=1,A,P)$ で、すべての辺 $f:v\to w$ に対して $N(f)\circ {\alpha }_v={\alpha }_w\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとの合成で定める。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

モデル $M$ に対して $M(1)=\{{\ast }_M\}$ とし、$M(A)$ 上の演算と元を
$$x\ast y=M(m)(c_M^{-1}(x,y)),e=M(u)({\ast }_M)$$
で定め、モデルの射 $\alpha$ に ${\alpha }_A$ を対応させる。この対応 $\Phi$ が関手 $\Phi :\mathbf{Mod}(\mathcal{S})\to \mathbf{CUMag}$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。

この問題では、環は可換で単位元 $1$ をもち、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。$1\ne 0$ であって $0$ 以外のすべての元が乗法の逆元をもつ可換環を体といい、体を対象、環準同型を射とする圏を $\mathbf{Field}$ とする。

有限極限スケッチ $\mathcal{S}=(G,D,L)$ とは、次の組のことをいう。
- $G$ は（有向）グラフ（頂点の集合と辺の集合、各辺の始点と終点）。
- $D$ は、始点と終点が同じである $G$ の道（長さ 0 の道を含む）の組 $(\sigma ,\tau )$ の集合。
- $L$ は錐の集合。各錐は、頂点 $v$、有限グラフ $I$ とグラフの準同型 $\delta :I\to G$、および $I$ の各頂点 $i$ に対する $G$ の辺 ${\lambda }_i:v\to \delta (i)$ からなる。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、$G$ の各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺 $f:w\to w^{\prime }$ に写像 $M(f):M(w)\to M(w^{\prime })$ を対応させたもので、次の 2 条件を満たすものとする。
- $D$ の各組 $(\sigma ,\tau )$ について、道に沿った写像の合成が等しい（長さ 0 の道は恒等写像と読む）。
- $L$ の各錐 $(v,\delta ,({\lambda }_i))$ について、$I$ の頂点 $i$ にわたる直積の部分集合
$$\Lambda =\{(x_i{)}_i\in \prod _{i}M(\delta (i))|I\text{ の各辺 }a:i\to j\text{ について }M(\delta (a))(x_i)=x_j\}$$
を考えたとき、写像 $x\mapsto (M({\lambda }_i)(x){)}_i$ が $M(v)$ から $\Lambda$ への全単射である（$I$ の頂点がないとき ${\prod }_{i}M(\delta (i))$ は 1 点集合とする）。

モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)$（$w$ は $G$ の頂点全体を動く）で、$G$ のすべての辺 $f:w\to w^{\prime }$ について $N(f)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとの合成で定める。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

どのような有限極限スケッチ $\mathcal{S}$ に対しても、$\mathbf{Field}$ は $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ と圏同値でないことを証明せよ。ただし、圏同値を与える関手は充満忠実かつ本質的全射であることは用いてよい。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

3 つの元 $a,b,c$ からなる集合に、$a\le c$, $b\le c$ と反射律だけで定まる半順序を入れた半順序集合を $\mathcal{P}$ とする（$a$ と $b$ は比較できない）。また $[2]=\{0,1,2\}$ を通常の大小関係 $0<1<2$ による全順序集合とし、これらを上のように圏とみなす。

関手 $\mathcal{P}\to [2]$ を対象とし、それらのあいだの自然変換を射とする関手圏 $[\mathcal{P},[2]]$ を考える。この関手圏の射（自然変換）の総数を求めよ。ただし恒等自然変換も射として数える。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。自然数全体 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）は加法によりモノイドをなすので、これを対象がただ 1 つ $\ast$ で、射が $\mathbb{N}$ の元、合成が加法、恒等射が $0$ である圏 $B\mathbb{N}$ とみなす。

$X=\{0,1,2,\dots ,90\}$ とし、写像 $g:X\to X$ を、$g(x)$ は $x^3$ を $91$ で割った余りとして定める。関手 $F:B\mathbb{N}\to \mathbf{FinSet}$ を
$$F(\ast )=X,F(n)=g^n(n\in \mathbb{N},g^0={\mathrm{id}}_X)$$
で定める。$F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$ の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

群 $K$ に対し、対象がただ $1$ つ $\ast$ で、射 $\ast \to \ast$ が $K$ の元、射の合成が $K$ の積、恒等射が単位元であるような圏を $\mathbf{B}K$ とする。

$V=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ とし、$D_4=⟨r,s\mid r^4=s^2=1,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$ を位数 $8$ の二面体群とする。関手 $\mathbf{B}V\to \mathbf{B}{D}_4$ を対象、それらの間の自然変換を射とする関手圏 $[\mathbf{B}V,\mathbf{B}{D}_4]$ を考える。

この関手圏の射の総数、すなわち関手の組 $(F,F^{\prime })$ すべてにわたる自然変換 $F\Rightarrow F^{\prime }$ の個数の和
$$\sum _{F,F^{\prime }}\#\mathrm{Nat}(F,F^{\prime })$$
を求めよ。

集合 $X$ とその上の同値関係 $\sim$ の組 $(X,\sim )$ を対象とし、$(X,\sim )$ から $(X^{\prime },{\sim }^{\prime })$ への射を「$x\sim y$ ならば $h(x){\sim }^{\prime }h(y)$」を満たす写像 $h:X\to X^{\prime }$ とする圏を $\mathbf{Eq}$ とする。

この問題では、有限極限スケッチを次のように定める。グラフ $G$（頂点・辺と各辺の始点・終点）、$G$ の道の等式の集合、錐の集合の組であり、各錐は、頂点 $v$、$v$ を始点とする辺の有限列 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$（${\lambda }_j$ の終点を $w_j$ とする）、および「$f(y_j)=g(y_k)$」の形の制約（$y_j$ は $j$ 番目の脚 ${\lambda }_j$ に対応する変数、$f,g$ は $w_j,w_k$ をそれぞれ始点とし同じ終点をもつ辺）の有限集合からなる。

次のスケッチ $\mathcal{S}$ を考える。
- 頂点: $V,R,P,Q$。
- 辺（9 本）: $s,t:R\to V$、$\rho :V\to R$、$\sigma :R\to R$、${\pi }_1,{\pi }_2:P\to R$、$c:P\to R$、$q_1,q_2:Q\to R$。
- 道の等式（${\mathrm{id}}_V$ は長さ 0 の道）:
$$\begin{array}{rl}& (\mathrm{E}1)s\circ \rho ={\mathrm{id}}_V,(\mathrm{E}2)t\circ \rho ={\mathrm{id}}_V,(\mathrm{E}3)s\circ \sigma =t,(\mathrm{E}4)t\circ \sigma =s,\\ & (\mathrm{E}5)s\circ c=s\circ {\pi }_1,(\mathrm{E}6)t\circ c=t\circ {\pi }_2,(\mathrm{E}7)q_1=q_2.\end{array}$$
- 錐: $({\mathrm{L}}_P)$ 頂点 $P$、脚 ${\pi }_1,{\pi }_2$（この順に $y_1,y_2$ に対応する）、制約 $t(y_1)=s(y_2)$（$t$ と $s$ の引き戻し）。$({\mathrm{L}}_Q)$ 頂点 $Q$、脚 $q_1,q_2$（この順に $y_1,y_2$ に対応する）、制約 $s(y_1)=s(y_2)$ と $t(y_1)=t(y_2)$。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺 $f:w\to w^{\prime }$ に写像 $M(f):M(w)\to M(w^{\prime })$ を対応させたもので、(E1)〜(E7) が写像の等式として成り立ち（${\mathrm{id}}_V$ は恒等写像と読む）、各錐について、写像 $x\mapsto (M({\lambda }_1)(x),\dots ,M({\lambda }_n)(x))$ が $M(v)$ から
$${\Lambda }^M=\{(y_1,\dots ,y_n)\in M(w_1)\times \cdots \times M(w_n)\mid \text{すべての制約 }M(f)(y_j)=M(g)(y_k)\text{ が成り立つ}\}$$
への全単射であるものとする。$M(s),M(t)$ の組が単射であること（$M(R)$ を $M(V)\times M(V)$ の部分集合とみなせること）はモデルの条件に含めていないが、錐 $({\mathrm{L}}_Q)$ と (E7) から導かれる。モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)(w=V,R,P,Q)$ で、9 本の辺 $f:w\to w^{\prime }$ すべてについて $N(f)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとに行う。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

モデル $M$ に対し、$M(V)$ 上の関係 ${\sim }_M$ を「$x{\sim }_{M}y⟺M(s)(r)=x,M(t)(r)=y$ を満たす $r\in M(R)$ が存在する」で定め、$\Phi (M)=(M(V),{\sim }_M)$、モデルの射 $\alpha$ に対し $\Phi (\alpha )={\alpha }_V$ とおく。$\Phi$ が関手 $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})\to \mathbf{Eq}$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。

集合 $A,B$ と全射 $f:A\to B$ の組 $(A,B,f)$ を対象とし、$(A,B,f)$ から $(A^{\prime },B^{\prime },f^{\prime })$ への射を $f^{\prime }\circ u=v\circ f$ を満たす写像の組 $(u,v)$（$u:A\to A^{\prime },v:B\to B^{\prime }$）とし、合成を成分ごとに行う圏を $\mathbf{Surj}$ とする。

次のスケッチ $\mathcal{S}$ を考える。
- グラフ: 頂点は $A,B,K$、辺は $f:A\to B$、$k_1,k_2:K\to A$ の 3 本。
- 可換であるべき図式: なし。
- 錐 $(\mathrm{L})$（$f$ と $f$ の引き戻し）: 頂点 $K$、脚 $k_1,k_2$。
- 余錐 $(\mathrm{C})$（$k_1,k_2$ の余等化子）: 頂点 $B$、底の図式は平行な 2 辺 $k_1,k_2:K\to A$、脚は $f:A\to B$。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺に写像 $M(f):M(A)\to M(B)$、$M(k_1),M(k_2):M(K)\to M(A)$ を対応させたもので、次の 2 条件を満たすものとする。
- （錐の条件）写像 $x\mapsto (M(k_1)(x),M(k_2)(x))$ が、$M(K)$ から
$${\Lambda }^M=\{(a,a^{\prime })\in M(A)\times M(A)\mid M(f)(a)=M(f)(a^{\prime })\}$$
への全単射である。
- （余錐の条件）$M(f)\circ M(k_1)=M(f)\circ M(k_2)$ であり、さらに任意の集合 $Z$ と $g\circ M(k_1)=g\circ M(k_2)$ を満たす任意の写像 $g:M(A)\to Z$ に対して、$w\circ M(f)=g$ を満たす写像 $w:M(B)\to Z$ がただ 1 つ存在する。

$M(f)$ が全射であることはモデルの条件に含めていない（上の 2 条件から導かれることも、示すべきことの一部である）。

モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)(w=A,B,K)$ で、3 本の辺 $e:w\to w^{\prime }$ すべてについて $N(e)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(e)$ を満たすものとし、合成は成分ごとに行う。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

対応 $\Phi (M)=(M(A),M(B),M(f))$、$\Phi (\alpha )=({\alpha }_A,{\alpha }_B)$ が関手 $\Phi :\mathbf{Mod}(\mathcal{S})\to \mathbf{Surj}$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。

集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とする。正の整数 $n$ と集合 $X$ に対し、長さ $n$ の列 $(x_0,x_1,\dots ,x_{n-1})\in X^n$ 全体に次の同値関係 $\sim$ を入れる。列 $\mathbf{x}$ に巡回シフト
$$(x_0,x_1,\dots ,x_{n-1})⟼(x_1,\dots ,x_{n-1},x_0)$$
を何回か（$0$ 回も含む）施して列 $\mathbf{y}$ が得られるとき、$\mathbf{x}\sim \mathbf{y}$ とする。商集合を $C_n(X)=X^n/\sim$ とし、$(x_0,\dots ,x_{n-1})$ の同値類を $[x_0,\dots ,x_{n-1}]$ と書く（「$X$ の元で色を塗った長さ $n$ の首飾り」の集合である。裏返しは同一視しない）。写像 $f:X\to Y$ に対し
$$C_n(f)([x_0,\dots ,x_{n-1}])=[f(x_0),\dots ,f(x_{n-1})]$$
と定めると、$C_n:\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ は関手になる。

自然変換 $\eta :C_3\Rightarrow C_{12}$ の個数を求めよ。