圏論の問題

1. 極限と余極限の具体形

$B\mathbb{N}$ の射は $1$ で生成されるので、錐 $(L,\lambda :L\to X)$ の条件は $g\circ \lambda =\lambda$ だけである。よって
$$\lim F=\{x\in X\mid g(x)=x\}$$
（$g$ の不動点の集合）である。同様に余錐 $\mu :X\to C$ の条件は $\mu \circ g=\mu$ だけなので、$\mathrm{colim}F$ は ${\mathrm{id}}_X$ と $g$ の余等化子、すなわち $x\sim g(x)$ で生成される同値関係による商集合 $X/\sim$ である。これは有向グラフ $x\to g(x)$（関数グラフ）の連結成分の集合であり、有限集合上の関数グラフの各連結成分にはちょうど $1$ つの巡回（サイクル）があるので、
$$|\mathrm{colim}F|=(g\text{ のサイクルの個数})$$
である。

2. 中国剰余定理による分解

$91=7\times 13$ で、環の同型 $\mathbb{Z}/91\cong \mathbb{Z}/7\times \mathbb{Z}/13$ のもとで $g$ は各成分での 3 乗写像 $g_7\times g_{13}$ になる。

$\mathbb{Z}/7$ の場合: $0\mapsto 0$。単数群は位数 $6$ の巡回群（生成元 $3$）で、$3^e\mapsto 3^{3e}$ だから指数の写像 $e\mapsto 3e\mathrm{mod}6$ を調べればよい。像は $\{0,3\}$ で、$0\mapsto 0$, $3\mapsto 3$ と不動点になる。よってサイクルは $\{0\},\{1\},\{6\}$ の $3$ 個で、すべて長さ $1$（不動点 $3$ 個: $x^3=x$ の解 $0,\pm 1$）。

$\mathbb{Z}/13$ の場合: $0\mapsto 0$。単数群は位数 $12$ の巡回群（生成元 $2$）で、指数の写像は $e\mapsto 3e\mathrm{mod}12$。像は $\{0,3,6,9\}$ で、$0\mapsto 0$, $6\mapsto 6$, $3\mapsto 9\mapsto 3$。要素で書くと $2^3=8$, $2^9\equiv 5$ で、実際 $8^3=512\equiv 5$, $5^3=125\equiv 8(\mathrm{mod}13)$。よってサイクルは $\{0\},\{1\},\{12\}$（長さ $1$）と $\{5,8\}$（長さ $2$）の $4$ 個（不動点は $3$ 個）。

3. 個数

不動点は各成分の不動点の組なので
$$|\lim F|=3\times 3=9$$

直積の写像では、長さ $a$ のサイクルと長さ $b$ のサイクルの直積は $\gcd (a,b)$ 個のサイクル（長さ $\mathrm{lcm}(a,b)$）に分かれ、直積の関数グラフのサイクルはすべてこうして得られる。ここでは $\mathbb{Z}/7$ 側のサイクルの長さがすべて $1$ なので、どの組も $\gcd =1$ で $1$ 個のサイクルになる。よって
$$|\mathrm{colim}F|=3\times 4=12$$

答え: $(9,12)$

$B\mathbb{N}$ から $\mathbf{FinSet}$ への関手は、有限集合 $X$ とその自己写像 $g$ の組（$\mathbb{N}$-作用）にほかならない。極限は $g$ の不動点集合 $\{x:g(x)=x\}$、余極限は $x\sim g(x)$ で生成される同値関係による商集合 $X/\sim$（関数グラフ $x\to g(x)$ の連結成分の集合）である。\n\n$91=7\cdot 13$ なので中国剰余定理より $X\cong \mathbb{Z}/7\times \mathbb{Z}/13$ で、$g$ は各成分で $x\mapsto x^3$ として働く。\n\n(1) 極限。$\mathbb{Z}/7$ で $x^3=x$ $⟺$ $x=0$ または $x^2=1$ なので $x\in \{0,1,6\}$ の 3 個。$\mathbb{Z}/13$ でも同様に $x\in \{0,1,12\}$ の 3 個。よって不動点は $3\times 3=9$ 個。$|\lim F|=9$。\n\n(2) 余極限。関数グラフの各連結成分はちょうど 1 つの巡回（サイクル）を含むので、連結成分の数は $g$ のサイクルの数に等しい。巡回点（サイクル上の点）は各成分での巡回点の直積である。\n- $\mathbb{Z}/7$: 単数群は位数 6 の巡回群で $k\mapsto 3k(\mathrm{mod}6)$。$k=0,3$ は不動、他は $k=1,5\to 3$、$k=2,4\to 0$ となり、$0$ も不動。巡回点は不動点 3 個 $\{0,1,6\}$ のみ。\n- $\mathbb{Z}/13$: 単数群は位数 12 の巡回群で $k\mapsto 3k(\mathrm{mod}12)$。$0\to 0$, $6\to 6$, $3\to 9\to 27\equiv 3$ なので、不動点 2 個（$k=0,6$）と長さ 2 のサイクル $\{3,9\}$ があり、$x=0$ も不動。巡回点は不動点 3 個と長さ 2 のサイクル 1 本。\n\n積の巡回点のうち、不動点×不動点は $3\times 3=9$ 個で、それぞれ長さ 1 のサイクル 9 本。不動点×（長さ 2 のサイクル）は $3\times 2=6$ 点で、周期 2 なので 3 本のサイクル。合計 $9+3=12$ 本。よって $|\mathrm{colim}F|=12$。\n\n検算: $\mathbb{Z}/7$ の成分は大きさ $1,3,3$（計 7）、$\mathbb{Z}/13$ の成分は大きさ $1,3,3,6$（計 13）で、周期は 1,1,1 と 1,1,1,2。積の成分数 $=\sum \gcd (\text{周期})=3\cdot 3\cdot 1+3\cdot 1\cdot 2$ を数えると $9+3=12$ で一致する（周期 1×周期 2 の成分は $\gcd =1$ 個ずつで 3 個、周期 1×周期 1 は 9 個）。