圏論の問題

集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、関手 $F,G:\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。

- $F(X)$ は、$X$ の部分集合のうち要素の個数が $1$ または $2$ であるもの全体とし、写像 $f:X\to X^{\prime }$ に対して $F(f)(S)=f(S)=\{f(s):s\in S\}$ とする（$f(S)$ の要素の個数は $1$ または $2$ なので $F(f)(S)\in F(X^{\prime })$ である）。
- $\mathcal{P}(X)$ を $X$ の部分集合全体とし、$G(X)=\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$（$X$ の部分集合からなる集合族全体）とする。写像 $f:X\to X^{\prime }$ に対して
$$G(f)(\mathcal{A})=\{f(S):S\in \mathcal{A}\}(\mathcal{A}\in G(X))$$
とする。

自然変換 $F\Rightarrow G$ の個数を求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。自然数全体 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）は加法によりモノイドをなすので、これを対象がただ 1 つ $\ast$ で、射が $\mathbb{N}$ の元、合成が加法、恒等射が $0$ である圏 $B\mathbb{N}$ とみなす。

$X=\{0,1,2,\dots ,90\}$ とし、写像 $g:X\to X$ を、$g(x)$ は $x^3$ を $91$ で割った余りとして定める。関手 $F:B\mathbb{N}\to \mathbf{FinSet}$ を
$$F(\ast )=X,F(n)=g^n(n\in \mathbb{N},g^0={\mathrm{id}}_X)$$
で定める。$F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$ の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

$G$ を有限群（単位元 $e$）とし、$n$ を正の整数とする。有限集合 $X$ と左作用 $G\times X\to X,(g,x)\mapsto gx$ の組を有限左 $G$ 集合といい、有限左 $G$ 集合を対象、$G$ 同変写像（$t(gx)=gt(x)$ をみたす写像 $t$）を射とする圏を $\mathcal{C}$ とする。

忘却関手 $U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$（$G$ 集合をその台集合に、$G$ 同変写像を写像そのものに送る）と、関手 $U^n:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$ を
$$U^n(X)=X^n=\underset{n}{\underbrace{X\times \cdots \times X}},U^n(t)(x_1,\dots ,x_n)=(t(x_1),\dots ,t(x_n))$$
で定める。$U^n$ から $U$ への自然変換全体の集合を $\mathrm{Nat}(U^n,U)$ とするとき、
$$|\mathrm{Nat}(U^n,U)|=n|G|$$
であることを示せ。

ただし、次の米田の補題は用いてよい: 圏 $\mathcal{D}$ の対象 $A$ と関手 $F:\mathcal{D}\to \mathbf{Set}$ に対し、$\alpha \mapsto {\alpha }_A({\mathrm{id}}_A)$ は $\mathrm{Nat}({\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(A,-),F)$ から $F(A)$ への全単射である。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$Y=\{0,1,2,\dots ,69\}$ とし、写像 $f,g:Y\to Y$ を
$$f(y)=y,g(y)=(6y\text{ を }70\text{ で割った余り})$$
で定める。$\mathbf{FinSet}$ における平行な射の組 $f,g:Y\rightrightarrows Y$ の余等化子（コイコライザー）$q:Y\to Q$ を考える。集合 $Q$ の要素の個数を求めよ。

集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とする。正の整数 $n$ と集合 $X$ に対し、長さ $n$ の列 $(x_0,x_1,\dots ,x_{n-1})\in X^n$ 全体に次の同値関係 $\sim$ を入れる。列 $\mathbf{x}$ に巡回シフト
$$(x_0,x_1,\dots ,x_{n-1})⟼(x_1,\dots ,x_{n-1},x_0)$$
を何回か（$0$ 回も含む）施して列 $\mathbf{y}$ が得られるとき、$\mathbf{x}\sim \mathbf{y}$ とする。商集合を $C_n(X)=X^n/\sim$ とし、$(x_0,\dots ,x_{n-1})$ の同値類を $[x_0,\dots ,x_{n-1}]$ と書く（「$X$ の元で色を塗った長さ $n$ の首飾り」の集合である。裏返しは同一視しない）。写像 $f:X\to Y$ に対し
$$C_n(f)([x_0,\dots ,x_{n-1}])=[f(x_0),\dots ,f(x_{n-1})]$$
と定めると、$C_n:\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ は関手になる。

自然変換 $\eta :C_3\Rightarrow C_{12}$ の個数を求めよ。