圏論の問題

余等化子の具体的な形. $\mathbf{FinSet}$（集合の圏と同じく）において $f,g:X\rightrightarrows Y$ の余等化子は、$Y$ を「$f(x)\sim g(x)$ $(x\in X)$」で生成される同値関係で割った商集合 $Y/\sim$ と自然な射影である。実際、写像 $h:Y\to Z$ が $h\circ f=h\circ g$ を満たすことは、$h$ がこの同値関係の各類の上で一定であることと同値であり、そのような $h$ は商集合を一意に経由する。

いまは $f=\mathrm{id}$ なので、$Q$ は $y\sim g(y)$ で生成される同値関係による商、すなわち $y$ と $g(y)$ を辺で結んだグラフ（$g$ の関数グラフ）の連結成分の集合である。有限集合上の写像の関数グラフの各連結成分には、$g$ の周期軌道（サイクル）がちょうど $1$ つ含まれる（各点から $g$ をくり返し施すと必ずサイクルに入り、同じ成分にサイクルが $2$ つあると、ある点の像が $2$ つになって矛盾する）。よって
$$\#Q=(g\text{ のサイクルの個数}).$$

中国剰余定理で分解する. $70=2\cdot 5\cdot 7$ より $\mathbb{Z}/70\cong \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/5\times \mathbb{Z}/7$ であり、$y\leftrightarrow (y_2,y_5,y_7)$ のもとで
$$g(y)\leftrightarrow (6y_2,6y_5,6y_7)=(0,y_5,-y_7)$$
となる（$6\equiv 0(\mathrm{mod}2)$, $6\equiv 1(\mathrm{mod}5)$, $6\equiv -1(\mathrm{mod}7)$）。

周期点とサイクル. $g^k(y)=y$ となる $k\ge 1$ があるためには $y_2=0$ が必要で、逆に $y_2=0$ なら $g^2(y)=y$ である。よって周期点は $y_2=0$ の $5\cdot 7=35$ 個で、その上で $g$ は $(0,y_5,y_7)\mapsto (0,y_5,-y_7)$ と作用する。
- $y_7=0$ のとき固定点：$5$ 個のサイクル（長さ $1$）
- $y_7\ne 0$ のとき $y_7\ne -y_7$ なので長さ $2$ のサイクル：$5\cdot 6/2=15$ 個

サイクルの総数は $5+15=20$。

よって $\#Q=20$。

$\mathbf{FinSet}$ における $f,g:Y\rightrightarrows Y$ の余等化子は、$Y$ を $y\sim g(y)$（$f=\mathrm{id}$ なので $f(y)\sim g(y)$ は $y\sim g(y)$）から生成される同値関係で割った商集合 $Q$ である。したがって $|Q|$ は、写像 $y\mapsto 6y\mathrm{mod}70$ のグラフ（関数グラフ）の連結成分の個数に等しい。\n\n中国剰余定理より $\mathbb{Z}/70\cong \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/5\times \mathbb{Z}/7$ で、$y=(a,b,c)$ のとき $6y=(6a,6b,6c)=(0,b,-c)$（$6\equiv 0(\mathrm{mod}2)$, $6\equiv 1(\mathrm{mod}5)$, $6\equiv -1(\mathrm{mod}7)$）。\n\nよって $(a,b,c)\sim (0,b,-c)$。さらにこれに $g$ を適用して $(0,b,-c)\sim (0,b,c)$。したがって $(a,b,c)\sim (a^{\prime },b,\pm c)$ のうち、$(a,b,c)\sim (0,b,c)\sim (0,b,-c)$ となり、同値類は $b$ と $\{c,-c\}$ で決まり、$a$ には依らない。逆に $g$ は $b$ を保ち $c$ を $\pm$ でしか動かさないので、$b$ と $\{\pm c\}$ は不変量である。\n\n類の個数 $=$ ($b$ の個数 5) $\times$ ($\mathbb{Z}/7$ の $\pm$ による類 $\{0\},\{1,6\},\{2,5\},\{3,4\}$ の 4 個) $=20$。\n\n検算: 例えば $y=1$ は $(1,1,1)$, $g(1)=6=(0,1,6)$, $g(6)=36=(0,1,1)=1+35$。$36$ ではなく $36\mathrm{mod}70=36$、$(0,1,1)$ に対応する元は $36$ で、$g(36)=216\mathrm{mod}70=6$。$1\to 6\to 36\to 6$ で類は $\{1,6,36\}$ と $(a,b,c)=(1,1,1),(0,1,6),(0,1,1)$ に対応する。$(0,1,1)$ の類は $\{(0,1,1),(0,1,6),(1,1,1),(1,1,6)\}$ の 4 元で、$y=71$ ではなく $(1,1,6)=41$ であり、$g(41)=246\mathrm{mod}70=36$ に入る。よって 4 元 $\{1,6,36,41\}$ が 1 つの類を作り、整合している。