圏論の問題

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$Y=\{0,1,2,\dots ,69\}$ とし、写像 $f,g:Y\to Y$ を
$$f(y)=y,g(y)=(6y\text{ を }70\text{ で割った余り})$$
で定める。$\mathbf{FinSet}$ における平行な射の組 $f,g:Y\rightrightarrows Y$ の余等化子（コイコライザー）$q:Y\to Q$ を考える。集合 $Q$ の要素の個数を求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=\{1,2,3,\dots ,20\}$, $B=\{0,1,2,3,4,5\}$ とし、写像 $f,g:A\to B$ を
$$f(a)=(a\text{ を }6\text{ で割った余り}),g(a)=(a\text{ を }4\text{ で割った余り})$$
で定める。$\mathbf{FinSet}$ における $f$ と $g$ の等化子を $e:E\to A$ とするとき、集合 $E$ の要素の個数 $|E|$ を求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=B=\{1,2,3,\dots ,10\}$、$C=\{0,1,2\}$ とし、写像 $f:A\to C$, $g:B\to C$ を
$$f(a)=(a\text{を}3\text{で割った余り}),g(b)=(b^2\text{を}3\text{で割った余り})$$
で定める。

$\mathbf{FinSet}$ における $f$ と $g$ の引き戻し（ファイバー積）を $P=A{\times }_{C}B$ とし、その射影を $p_1:P\to A$, $p_2:P\to B$ とする。さらに、スパン $A\stackrel{p_1}{\leftarrow }P\stackrel{p_2}{\to }B$ の $\mathbf{FinSet}$ における押し出しを $Q$ とする。

集合 $P$ の要素の個数と集合 $Q$ の要素の個数を、この順に組 $(|P|,|Q|)$ で答えよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。

圏 $\mathcal{J}$ を次のように定める。対象は $1,2,3$ の $3$ つである。恒等射以外の射は
$$\alpha :1\to 2,\beta :1\to 3,\gamma :3\to 2,\delta :1\to 2$$
の $4$ つだけであり（$\alpha \ne \delta$）、恒等射でない射どうしの合成は $\gamma \circ \beta =\delta$ だけが定義される。

$A=B=\{0,1,2,\dots ,20\}$、$C=\{0,1,\dots ,6\}$ とし、関手 $F:\mathcal{J}\to \mathbf{FinSet}$ を
$$F(1)=A,F(2)=B,F(3)=C,$$
$$F(\alpha )(x)=(x^2\text{ を }21\text{ で割った余り}),F(\beta )(x)=(x\text{ を }7\text{ で割った余り}),$$
$$F(\gamma )(z)=(3z\text{ を }21\text{ で割った余り}),F(\delta )=F(\gamma )\circ F(\beta )$$
で定める（$x\in A$, $z\in C$）。

$F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$（いずれも $\mathbf{FinSet}$ における）の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

$B=\{0,1,2,\dots ,19\}$ を $20$ 個の元からなる有限集合とする。写像 $f,g:B\to B$ を、$x\in B$ に対して
$$f(x)=(2x\text{ を }20\text{ で割った余り}),g(x)=(3x\text{ を }20\text{ で割った余り})$$
で定める（値はいずれも $0$ 以上 $19$ 以下の整数で、$B$ の元である）。

有限集合を対象とし、写像を射とする圏 $\mathbf{FinSet}$ において、平行な射の組 $f,g:B\rightrightarrows B$ の余等化子 $q:B\to Q$ を考える。すなわち $q\circ f=q\circ g$ を満たし、$h\circ f=h\circ g$ を満たす任意の写像 $h:B\to C$（$C$ は有限集合）に対して $h=u\circ q$ となる写像 $u:Q\to C$ がただ 1 つ存在するような $q:B\to Q$ である。ここで $B$ は単なる有限集合として扱い、群や環などの代数的構造は考えない（余等化子は $\mathbf{FinSet}$ の中でとる）。余等化子は同型を除いて一意なので、$Q$ の元の個数は一意に決まる。$Q$ の元の個数を求めよ。