圏論の問題

記号を簡単にするため $a=F(\alpha )$, $b=F(\beta )$, $c=F(\gamma )$ とおく。$F(\delta )=c\circ b$ であり、$x\in A$ に対して $3\cdot 7=21$ より
$$c(b(x))=(3x\text{ を }21\text{ で割った余り})$$
である（$x\equiv b(x)(\mathrm{mod}7)$ なら $3x\equiv 3b(x)(\mathrm{mod}21)$）。

極限. $\mathbf{FinSet}$ での極限は、各対象の像の元の族 $(x,y,z)\in A\times B\times C$ で、すべての射と両立するもの、すなわち
$$a(x)=y,b(x)=z,c(z)=y,c(b(x))=y$$
を満たすもの全体である（最後の条件は前の $2$ つと $3$ つ目から従う）。$y,z$ は $x$ から決まるので
$$\lim F\cong \{x\in A\mid x^2\equiv 3x(\mathrm{mod}21)\}.$$
$x(x-3)\equiv 0(\mathrm{mod}21)$ を中国剰余定理で解く。$\mathrm{mod}3$ では $x^2\equiv 0$ より $x\equiv 0$、$\mathrm{mod}7$ では $x\equiv 0$ または $x\equiv 3$。よって $x\equiv 0,3(\mathrm{mod}21)$ で、$A$ 内の解は $x=0,3$ の $2$ 個。したがって $|\lim F|=2$。

余極限. $\mathbf{FinSet}$ での余極限は、直和 $A\bigsqcup B\bigsqcup C$ を、各射 $\phi :j\to k$ と $s\in F(j)$ について $s\sim F(\phi )(s)$ で生成される同値関係で割ったものである。$x\in A$ は $a(x)\in B$ と、$z\in C$ は $c(z)\in B$ と同一視されるので、すべての元は $B$ の元の類で代表される。また $x\sim a(x)$ と $x\sim b(x)\sim c(b(x))$ から $B$ 上には
$$x^2\mathrm{mod}21\sim 3x\mathrm{mod}21(x\in A)$$
という関係が生じ、これ以外の関係は生じない。よって $\mathrm{colim}F\cong B/\sim$（この関係で生成される同値関係）である。

$x=0,\dots ,20$ について $(x^2\mathrm{mod}21,3x\mathrm{mod}21)$ を計算すると
$0:(0,0)$, $1:(1,3)$, $2:(4,6)$, $3:(9,9)$, $4:(16,12)$, $5:(4,15)$, $6:(15,18)$, $7:(7,0)$, $8:(1,3)$, $9:(18,6)$, $10:(16,9)$, $11:(16,12)$, $12:(18,15)$, $13:(1,18)$, $14:(7,0)$, $15:(15,3)$, $16:(4,6)$, $17:(16,9)$, $18:(9,12)$, $19:(4,15)$, $20:(1,18)$。

これらを辺とするグラフの連結成分を求める。
- $7\text{–}0$ より $\{0,7\}$。
- $1\text{–}3$, $1\text{–}18$, $18\text{–}15$, $15\text{–}4$, $4\text{–}6$, $18\text{–}6$, $15\text{–}3$ より $\{1,3,4,6,15,18\}$。
- $16\text{–}12$, $16\text{–}9$, $9\text{–}12$ より $\{9,12,16\}$。
これらの間をつなぐ辺はない。どの辺にも現れない $2,5,8,10,11,13,14,17,19,20$ の $10$ 個はそれぞれ $1$ 元の類になる（$2+6+3+10=21$ で全体を尽くす）。

よって同値類の個数は $3+10=13$ で、$|\mathrm{colim}F|=13$。

答えは $(2,13)$。

極限 $\lim F$ は、錐 $(a,b,c)\in A\times B\times C$ で次を満たすものの集合である。
$F(\alpha )(a)=b$, $F(\beta )(a)=c$, $F(\gamma )(c)=b$, $F(\delta )(a)=b$。

$b=a^2\mathrm{mod}21$、$c=a\mathrm{mod}7$ が決まる。残る条件は $3c\equiv a^2(\mathrm{mod}21)$ である。$\delta$ の条件は $F(\delta )=F(\gamma )\circ F(\beta )$ より同じ式になる。

$c\equiv a(\mathrm{mod}7)$ より $3c\equiv 3a(\mathrm{mod}21)$ なので、条件は $a(a-3)\equiv 0(\mathrm{mod}21)$ と同値である。
- mod 3 では $a^2\equiv 0$ より $a\equiv 0$。
- mod 7 では $a\equiv 0,3$。

中国剰余定理より $a\in \{0,\dots ,20\}$ は $1\cdot 2=2$ 個である（具体的には $a=0,3$）。よって $|\lim F|=2$。

余極限 $\mathrm{colim}F$ は、$A\bigsqcup B\bigsqcup C$ を次で生成される同値関係で割った商である。
$a\sim F(\alpha )(a)$, $a\sim F(\beta )(a)$, $c\sim F(\gamma )(c)$。
$\delta$ の関係はこれらから従う。

各 $a\in A$ は $B$ の元 $a^2\mathrm{mod}21$ と $C$ の元 $a\mathrm{mod}7$ につながるので、$A$ の元は連結成分を増やさない。したがって $B\bigsqcup C$ の 28 点上のグラフの連結成分数を数えればよい。辺は次の二種類である。
- $C_c-B_{3c\mathrm{mod}21}$
- $C_{a\mathrm{mod}7}-B_{a^2\mathrm{mod}21}$

$C_c-B_{3c}$ の辺（$c=0,\dots ,6$）は
$C_0{B}_0,C_1{B}_3,C_2{B}_6,C_3{B}_9,C_4{B}_{12},C_5{B}_{15},C_6{B}_{18}$。

$a=0,\dots ,20$ から得られる辺（重複は省く）は
$C_0{B}_0,C_1{B}_1,C_2{B}_4,C_3{B}_9,C_4{B}_{16},C_5{B}_4,C_6{B}_{15},C_0{B}_7,C_2{B}_{18},C_3{B}_{16},C_5{B}_{18},C_6{B}_1,C_1{B}_{15},C_4{B}_9$。

これらから連結成分は次のとおり。
1. $\{C_0,B_0,B_7\}$
2. $\{C_1,C_2,C_5,C_6,B_1,B_3,B_4,B_6,B_{15},B_{18}\}$
3. $\{C_3,C_4,B_9,B_{12},B_{16}\}$
4. 孤立した $B$ の点 $B_2,B_5,B_8,B_{10},B_{11},B_{13},B_{14},B_{17},B_{19},B_{20}$ の 10 個

$B$ のうち成分 1〜3 に入る点は $2+6+3=11$ 個なので、孤立点は $21-11=10$ 個で上の数と一致する。よって $|\mathrm{colim}F|=3+10=13$。

答えは $(2,13)$。