圏論の問題

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。

圏 $\mathcal{J}$ を次のように定める。対象は $1,2,3$ の $3$ つである。恒等射以外の射は
$$\alpha :1\to 2,\beta :1\to 3,\gamma :3\to 2,\delta :1\to 2$$
の $4$ つだけであり（$\alpha \ne \delta$）、恒等射でない射どうしの合成は $\gamma \circ \beta =\delta$ だけが定義される。

$A=B=\{0,1,2,\dots ,20\}$、$C=\{0,1,\dots ,6\}$ とし、関手 $F:\mathcal{J}\to \mathbf{FinSet}$ を
$$F(1)=A,F(2)=B,F(3)=C,$$
$$F(\alpha )(x)=(x^2\text{ を }21\text{ で割った余り}),F(\beta )(x)=(x\text{ を }7\text{ で割った余り}),$$
$$F(\gamma )(z)=(3z\text{ を }21\text{ で割った余り}),F(\delta )=F(\gamma )\circ F(\beta )$$
で定める（$x\in A$, $z\in C$）。

$F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$（いずれも $\mathbf{FinSet}$ における）の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

半順序集合 $(P,\le )$ は、対象を $P$ の元とし、$c\le d$ のときに限り $c$ から $d$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。

$P=\{a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2\}$ とする。$P$ 上の半順序 $\le$ は、反射律による $c\le c$ $(c\in P)$ と、次の $6$ つの関係だけからなるものとする。
$$a_0\le b_0,a_1\le b_0,a_1\le b_1,a_2\le b_1,a_2\le b_2,a_0\le b_2$$
（これら以外の異なる $2$ 元の間には順序関係はない。）

${\mathbb{F}}_{13}=\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ を $13$ 個の元からなる有限集合とみなす。関手 $F:P\to \mathbf{FinSet}$ を、すべての対象 $c\in P$ に対して $F(c)={\mathbb{F}}_{13}$ とし、恒等射を恒等写像に、恒等射以外の $6$ 本の射を次の写像に移すものとして定める（$x\in {\mathbb{F}}_{13}$ であり、べきは ${\mathbb{F}}_{13}$ の乗法で計算する）。
$$\begin{array}{rlrl}F(a_0\le b_0)& :x\mapsto x^2,& F(a_1\le b_0)& :x\mapsto x^3,\\ F(a_1\le b_1)& :x\mapsto x^4,& F(a_2\le b_1)& :x\mapsto x^2,\\ F(a_2\le b_2)& :x\mapsto x^3,& F(a_0\le b_2)& :x\mapsto x^4.\end{array}$$

$\mathbf{FinSet}$ における $F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$（いずれも同型を除いて一意に定まる有限集合）の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

この問題では、環は可換で単位元 $1$ をもち、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。$1\ne 0$ であって $0$ 以外のすべての元が乗法の逆元をもつ可換環を体といい、体を対象、環準同型を射とする圏を $\mathbf{Field}$ とする。

有限極限スケッチ $\mathcal{S}=(G,D,L)$ とは、次の組のことをいう。
- $G$ は（有向）グラフ（頂点の集合と辺の集合、各辺の始点と終点）。
- $D$ は、始点と終点が同じである $G$ の道（長さ 0 の道を含む）の組 $(\sigma ,\tau )$ の集合。
- $L$ は錐の集合。各錐は、頂点 $v$、有限グラフ $I$ とグラフの準同型 $\delta :I\to G$、および $I$ の各頂点 $i$ に対する $G$ の辺 ${\lambda }_i:v\to \delta (i)$ からなる。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、$G$ の各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺 $f:w\to w^{\prime }$ に写像 $M(f):M(w)\to M(w^{\prime })$ を対応させたもので、次の 2 条件を満たすものとする。
- $D$ の各組 $(\sigma ,\tau )$ について、道に沿った写像の合成が等しい（長さ 0 の道は恒等写像と読む）。
- $L$ の各錐 $(v,\delta ,({\lambda }_i))$ について、$I$ の頂点 $i$ にわたる直積の部分集合
$$\Lambda =\{(x_i{)}_i\in \prod _{i}M(\delta (i))|I\text{ の各辺 }a:i\to j\text{ について }M(\delta (a))(x_i)=x_j\}$$
を考えたとき、写像 $x\mapsto (M({\lambda }_i)(x){)}_i$ が $M(v)$ から $\Lambda$ への全単射である（$I$ の頂点がないとき ${\prod }_{i}M(\delta (i))$ は 1 点集合とする）。

モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)$（$w$ は $G$ の頂点全体を動く）で、$G$ のすべての辺 $f:w\to w^{\prime }$ について $N(f)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとの合成で定める。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

どのような有限極限スケッチ $\mathcal{S}$ に対しても、$\mathbf{Field}$ は $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ と圏同値でないことを証明せよ。ただし、圏同値を与える関手は充満忠実かつ本質的全射であることは用いてよい。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 ${\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことである。

小さい圏 $\mathcal{C}$ の脈体（nerve）$N\mathcal{C}$ を、$n$ 単体の集合 $N{\mathcal{C}}_n$ が $\mathcal{C}$ の合成可能な射の列
$$c_0\stackrel{f_1}{\to }{c}_1\stackrel{f_2}{\to }\cdots \stackrel{f_n}{\to }{c}_n$$
全体（$n=0$ のときは対象全体）であり、面写像が射の合成（両端では射の除去）、退化写像が恒等射の挿入で与えられる単体的集合とする。$n$ 単体が非退化であるとは、それがどの退化写像の像にも入らないことをいう。

圏 $\mathcal{C}$ を次で定める。対象は $x,y$ の $2$ つで、射は
$$\mathrm{Hom}(x,x)=\{{\mathrm{id}}_x\},\mathrm{Hom}(x,y)=\{u\},\mathrm{Hom}(y,x)=\{v\},\mathrm{Hom}(y,y)=\{{\mathrm{id}}_y,e\}$$
であり、恒等射以外の合成は
$$v\circ u={\mathrm{id}}_x,u\circ v=e,e\circ e=e,e\circ u=u,v\circ e=v$$
で与えられる。

脈体 $N\mathcal{C}$ の非退化な $10$ 単体の個数を求めよ。

$G=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{0,1,2,3\}$ を $4$ を法とする加法による群とする。対象がただ $1$ つ $\ast$ で、射 $\ast \to \ast$ が $G$ の元、射の合成が $G$ の加法、恒等射が $0$ であるような圏を $\mathbf{B}G$ とする。集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とする。

正方形の $4$ つの頂点に $0,1,2,3$ と番号をつけ、各頂点を赤・青・黄の $3$ 色のいずれかで塗る塗り方（写像 $c:\{0,1,2,3\}\to \{\text{赤},\text{青},\text{黄}\}$）全体の集合を $S$ とする。関手 $F:\mathbf{B}G\to \mathbf{Set}$ を、$F(\ast )=S$ とし、射 $k\in G$ に対して写像 $F(k):S\to S$ を
$$(F(k)(c))(i)=c(i-k)(i\in \{0,1,2,3\},\text{引き算は}4\text{を法とする})$$
で定める（塗り方を $k$ 番だけ回転させる）。

表現可能関手 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{B}G}(\ast ,-):\mathbf{B}G\to \mathbf{Set}$ から $F$ への自然変換の個数を求めよ。