表現可能関手と米田の補題

$G=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{0,1,2,3\}$ を $4$ を法とする加法による群とする。対象がただ $1$ つ $\ast$ で、射 $\ast \to \ast$ が $G$ の元、射の合成が $G$ の加法、恒等射が $0$ であるような圏を $\mathbf{B}G$ とする。集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とする。

正方形の $4$ つの頂点に $0,1,2,3$ と番号をつけ、各頂点を赤・青・黄の $3$ 色のいずれかで塗る塗り方（写像 $c:\{0,1,2,3\}\to \{\text{赤},\text{青},\text{黄}\}$）全体の集合を $S$ とする。関手 $F:\mathbf{B}G\to \mathbf{Set}$ を、$F(\ast )=S$ とし、射 $k\in G$ に対して写像 $F(k):S\to S$ を
$$(F(k)(c))(i)=c(i-k)(i\in \{0,1,2,3\},\text{引き算は}4\text{を法とする})$$
で定める（塗り方を $k$ 番だけ回転させる）。

表現可能関手 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{B}G}(\ast ,-):\mathbf{B}G\to \mathbf{Set}$ から $F$ への自然変換の個数を求めよ。

$12$ の正の約数全体 $P=\{1,2,3,4,6,12\}$ を整除関係 $d\mid e$ で順序づけた半順序集合とみなし、これを圏 $\mathcal{P}$ とする（対象は $P$ の元で、$d\mid e$ のときに限り $d$ から $e$ への射がちょうど 1 本ある）。

共変関手 $F:\mathcal{P}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。各 $d\in P$ に対し
$$F(d)=\{(a,b)\mid a,b\text{ は }d\text{ の正の約数で }a\mid b\}$$
とし、$d\mid e$ の射に対しては包含写像 $F(d)\hookrightarrow F(e)$ を対応させる。

表現可能関手 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{P}}(6,-):\mathcal{P}\to \mathbf{Set}$ から $F$ への自然変換の個数を求めよ。

$k={\mathbb{F}}_3=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ とし、$k$ 上の有限次元ベクトル空間と $k$ 線形写像のなす圏を $\mathcal{V}$ とする。集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とする。

$V\in \mathcal{V}$ に対し、$V{\otimes }_{k}V$ の部分空間 $W_V=\mathrm{span}\{v\otimes v\mid v\in V\}$ による商空間を ${\Lambda }^{2}V=(V{\otimes }_{k}V)/W_V$ とし、$v\otimes w$ の像を $v\wedge w$ と書く。線形写像 $f:V\to V^{\prime }$ に対し $f\otimes f$ は $W_V$ を $W_{V^{\prime }}$ に移すので、線形写像 ${\Lambda }^{2}f:v\wedge w\mapsto f(v)\wedge f(w)$ が定まる。

関手 $F,G:\mathcal{V}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。
- $F(V)=(V\times V)\bigsqcup (V\times V\times V)$（集合としての直積の非交和）とし、線形写像 $f$ に対して $F(f)$ は各成分に $f$ を施す写像 $(v,w)\mapsto (f(v),f(w))$, $(u,v,w)\mapsto (f(u),f(v),f(w))$ とする。
- $G(V)$ は ${\Lambda }^{2}V$ の台集合とし、$G(f)={\Lambda }^{2}f$ とする。

自然変換 $F\Rightarrow G$ の個数を求めよ（自然変換の成分は線形である必要はなく、単なる写像でよい）。

対象が $V,E$ の $2$ つで、恒等射以外の射が $s,t:V\to E$ の $2$ つだけである圏を $\mathcal{C}$ とする（恒等射でない射どうしの合成は存在しない）。関手 $X:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ を前層とよび、$X(V)$ を頂点の集合、$X(E)$ を辺の集合、辺 $x\in X(E)$ に対して $X(s)(x)$ をその始点、$X(t)(x)$ をその終点と考える（有向グラフ）。

前層 $P$ を
$$P(V)=\{0,1,2,3\},P(E)=\{a_1,a_2,a_3\},P(s)(a_i)=i-1,P(t)(a_i)=i(i=1,2,3)$$
で定め、前層 $H$ を
$$H(V)=\{1,2,3\},H(E)=\{e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6\}$$
とし、各辺の始点と終点を
$$e_1:1\to 2,e_2:1\to 2,e_3:2\to 3,e_4:3\to 1,e_5:2\to 2,e_6:3\to 3$$
で定める（$e_k:u\to v$ は $H(s)(e_k)=u$, $H(t)(e_k)=v$ を表す）。

自然変換 $P\Rightarrow H$ の個数を求めよ。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。${\mathbb{F}}_3=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ とする。

可換 ${\mathbb{F}}_3$ 代数 $A$ であって、すべての $a\in A$ について $a^3=a$ を満たすもの全体を対象とし、${\mathbb{F}}_3$ 代数の準同型を射とする圏を $\mathcal{C}$ とする。忘却関手 $U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$（$A$ をその台集合に送る）と、その直積 $U\times U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$, $A\mapsto U(A)\times U(A)$ を考える。

自然変換 $U\times U\Rightarrow U$ の個数を求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。関手 $F:\mathbf{FinSet}\to \mathbf{FinSet}$ を次のように定める。

• 有限集合 $X$ に対して $F(X)=X^4=X\times X\times X\times X$
• 写像 $f:X\to Y$ に対して $F(f)(x_1,x_2,x_3,x_4)=(f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4))$

自然変換 $\eta :F\Rightarrow F$ のうち、自分自身との垂直合成について $\eta \circ \eta =\eta$ を満たすものの個数を求めよ。ここで $\eta \circ \eta =\eta$ とは、すべての有限集合 $X$ について ${\eta }_X\circ {\eta }_X={\eta }_X$ が成り立つことをいう。

集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、関手 $F,G:\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。

- $F(X)$ は、$X$ の部分集合のうち要素の個数が $1$ または $2$ であるもの全体とし、写像 $f:X\to X^{\prime }$ に対して $F(f)(S)=f(S)=\{f(s):s\in S\}$ とする（$f(S)$ の要素の個数は $1$ または $2$ なので $F(f)(S)\in F(X^{\prime })$ である）。
- $\mathcal{P}(X)$ を $X$ の部分集合全体とし、$G(X)=\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$（$X$ の部分集合からなる集合族全体）とする。写像 $f:X\to X^{\prime }$ に対して
$$G(f)(\mathcal{A})=\{f(S):S\in \mathcal{A}\}(\mathcal{A}\in G(X))$$
とする。

自然変換 $F\Rightarrow G$ の個数を求めよ。

$G$ を有限群（単位元 $e$）とし、$n$ を正の整数とする。有限集合 $X$ と左作用 $G\times X\to X,(g,x)\mapsto gx$ の組を有限左 $G$ 集合といい、有限左 $G$ 集合を対象、$G$ 同変写像（$t(gx)=gt(x)$ をみたす写像 $t$）を射とする圏を $\mathcal{C}$ とする。

忘却関手 $U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$（$G$ 集合をその台集合に、$G$ 同変写像を写像そのものに送る）と、関手 $U^n:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$ を
$$U^n(X)=X^n=\underset{n}{\underbrace{X\times \cdots \times X}},U^n(t)(x_1,\dots ,x_n)=(t(x_1),\dots ,t(x_n))$$
で定める。$U^n$ から $U$ への自然変換全体の集合を $\mathrm{Nat}(U^n,U)$ とするとき、
$$|\mathrm{Nat}(U^n,U)|=n|G|$$
であることを示せ。

ただし、次の米田の補題は用いてよい: 圏 $\mathcal{D}$ の対象 $A$ と関手 $F:\mathcal{D}\to \mathbf{Set}$ に対し、$\alpha \mapsto {\alpha }_A({\mathrm{id}}_A)$ は $\mathrm{Nat}({\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(A,-),F)$ から $F(A)$ への全単射である。