圏論の問題

表現可能性. $n\ge 1$ に対し、$k^n$ の標準基底を $e_1,\dots ,e_n$ とする。線形写像 $\phi :k^n\to V$ は $(\phi (e_1),\dots ,\phi (e_n))$ で一意に決まり、任意の組がこの形で実現されるので、全単射
$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{V}}(k^n,V)\stackrel{\sim }{\to }{V}^n,\phi \mapsto (\phi (e_1),\dots ,\phi (e_n))$$
がある。線形写像 $f:V\to V^{\prime }$ に対し $(f\circ \phi )(e_i)=f(\phi (e_i))$ なので、これは $V$ について自然である。よって
$$F\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{V}}(k^2,-)\bigsqcup {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{V}}(k^3,-).$$

余積の性質. 関手の非交和は関手圏 $[\mathcal{V},\mathbf{Set}]$ における余積なので（成分ごとに $\mathbf{Set}$ の余積であるから）、
$$\mathrm{Nat}(F,G)\cong \mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(k^2,-),G)\times \mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(k^3,-),G).$$

米田の補題. 米田の補題により $\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(k^n,-),G)\cong G(k^n)$（自然変換 $\alpha$ に ${\alpha }_{k^n}(\mathrm{id})$ を対応させる）。したがって
$$|\mathrm{Nat}(F,G)|=|{\Lambda }^2(k^2)|\cdot |{\Lambda }^2(k^3)|.$$

${\Lambda }^2(k^n)$ の次元. $V\otimes V$ の基底は $e_i\otimes e_j$（$n^2$ 個）である。$(e_i+e_j)\otimes (e_i+e_j)=e_i\otimes e_i+e_j\otimes e_j+e_i\otimes e_j+e_j\otimes e_i$ より、$W_V$ は $e_i\otimes e_i$ と $e_i\otimes e_j+e_j\otimes e_i$（$i<j$）で張られる。逆に $v=\sum a_i{e}_i$ に対し $v\otimes v={\sum }_i{a}_i^2{e}_i\otimes e_i+{\sum }_{i<j}{a}_i{a}_j(e_i\otimes e_j+e_j\otimes e_i)$ なので、$W_V$ はちょうどこれら $n+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$ 個の一次独立なベクトルで張られる。よって $\dim {\Lambda }^2(k^n)=n^2-n-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$ で、$e_i\wedge e_j(i<j)$ が基底になる。

したがって $\dim {\Lambda }^2(k^2)=1$, $\dim {\Lambda }^2(k^3)=3$ であり、$k={\mathbb{F}}_3$ なので
$$|{\Lambda }^2(k^2)|=3,|{\Lambda }^2(k^3)|=3^3=27.$$

結論. $|\mathrm{Nat}(F,G)|=3\cdot 27=81$。

（具体的には、$V^2$ 成分では $(v,w)\mapsto cv\wedge w$、$V^3$ 成分では $(u,v,w)\mapsto av\wedge w+bu\wedge w+c^{\prime }u\wedge v$（$a,b,c,c^{\prime }\in {\mathbb{F}}_3$）がすべての自然変換である。）

$F=F_1\bigsqcup F_2$ とおく。ここで $F_1(V)=V\times V$, $F_2(V)=V\times V\times V$ である。

余積からの自然変換は各成分への自然変換の組で決まるので、$\mathrm{Nat}(F,G)\cong \mathrm{Nat}(F_1,G)\times \mathrm{Nat}(F_2,G)$ である。

集合として $V^n\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{V}}(k^n,V)$ であり、$f$ による作用は後合成に対応する。したがって $F_1\cong \mathrm{Hom}(k^2,-)$, $F_2\cong \mathrm{Hom}(k^3,-)$ となり、どちらも表現可能関手である。米田の補題より、$\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(k^n,-),G)\cong G(k^n)$ である。

${\Lambda }^{2}V$ の次元は $\dim V=n$ のとき $n(n-1)/2$ である。この値は標数 3 でも変わらない。これは $V\otimes V$ の商が、$v\otimes v$ で張られる部分空間（対称テンソルの添字 $e_i\otimes e_i$ と $e_i\otimes e_j+e_j\otimes e_i$ で張られる、次元 $n(n+1)/2$）による商になるためである。標数 3 では 2 が可逆なので、これは確かに成り立つ。

• $n=2$: $\dim {\Lambda }^2(k^2)=1$ なので $|G(k^2)|=3^1=3$
• $n=3$: $\dim {\Lambda }^2(k^3)=3$ なので $|G(k^3)|=3^3=27$

以上より、自然変換の個数は $3\times 27=81$ である。