圏論の問題

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

集合 $X=\{1,2,3,4\}$ の部分集合全体を包含関係 $\subseteq$ で順序づけた半順序集合を圏とみなしたものを $\mathcal{P}$ とし、$3$ つの元からなる全順序集合 $\{0<1<2\}$ を圏とみなしたものを $3$ とする。

関手 $F:3\to \mathcal{P}$ の個数を求めよ。ただし、2 つの関手は、対象への対応と射への対応がともに一致するときに限り同じとみなす。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

$P=\{0,1,2\}$ を通常の順序 $0<1<2$ で全順序集合とみなした圏とする。関手 $F:P\to P$ を対象とし、関手の間の自然変換を射とする関手圏を $[P,P]$ とする。

関手圏 $[P,P]$ の射（自然変換）の総数を求めよ。ただし、すべての対象の組 $(F,G)$ についての $F$ から $G$ への自然変換を合計し、恒等自然変換も数に含める。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

$S=\{0,1\}\times \{0,1\}$ に成分ごとの順序
$$(a,b)\le (a^{\prime },b^{\prime })⟺a\le a^{\prime }\text{かつ}b\le b^{\prime }$$
を入れた半順序集合を圏 $\mathcal{S}$ とみなし、$C=\{0,1,2\}$ に通常の大小の順序を入れた全順序集合を圏 $\mathcal{C}$ とみなす。関手 $F:\mathcal{S}\to \mathcal{C}$ の個数を求めよ。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。合成は、$p\le q$ と $q\le r$ の射の合成を $p\le r$ の射とすることで定め、恒等射は $p\le p$ の射とする。

集合 $Q=\{0,1\}\times \{0,1,2\}$ に、成分ごとの順序
$$(a,b)\le (a^{\prime },b^{\prime })⟺a\le a^{\prime }\text{かつ}b\le b^{\prime }$$
（各成分の $\le$ は整数の通常の大小）を入れた半順序集合を考える。これを上のように圏とみなしたとき、この圏の射の総数（恒等射も含める）を求めよ。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

集合 $\{1,2,3,4\}$ の分割（空でない互いに素な部分集合（ブロック）への分け方）全体を ${\Pi }_4$ とし、分割 $\pi ,\sigma$ について「$\pi$ の各ブロックが $\sigma$ のあるブロックに含まれる」ときに $\pi \le \sigma$ と定める（細分による順序）。この半順序集合 $({\Pi }_4,\le )$ を圏とみなしたとき、射（恒等射も含む）の総数を求めよ。