圏論の問題

関手の記述. 半順序集合の間の関手 $F:P\to P$ は、射の行き先が対象の行き先から一意に決まるので、広義単調増加な写像 $f:\{0,1,2\}\to \{0,1,2\}$ と同じものである。

自然変換の記述. $F$ から $G$ への自然変換は各 $i$ ごとの射 $F(i)\to G(i)$ の族であり、これが存在するのは $F(i)\le G(i)$ $(i=0,1,2)$ のときに限る。また $P$ の任意の $2$ 対象間の射は高々 $1$ つなので、自然性の図式は自動的に可換であり、自然変換は存在すれば一意である。よって射の総数は
$$f(0)\le f(1)\le f(2),g(0)\le g(1)\le g(2),f(i)\le g(i)(i=0,1,2)$$
を満たす組 $(f,g)$ の個数に等しい。

数え上げ. 各 $i$ に対し $s_i=(f(i),g(i))$ とおくと、$s_i$ は
$$S=\{(a,b)\mid 0\le a\le b\le 2\}=\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2)\}$$
の元であり、条件は $S$ に成分ごとの順序を入れたときの $s_0\le s_1\le s_2$ と同値である。長さ $k$ の列で最後が $s$ であるものの個数を $N_k(s)$ とすると、$N_1(s)=1$ で $N_{k+1}(s)={\sum }_{t\le s}{N}_k(t)$。

$N_2$: $(0,0):1$, $(0,1):2$, $(0,2):3$, $(1,1):3$, $(1,2):5$, $(2,2):6$。

$N_3$:
- $(0,0)$: $1$
- $(0,1)$: $1+2=3$
- $(0,2)$: $1+2+3=6$
- $(1,1)$: $(0,0),(0,1),(1,1)$ より $1+2+3=6$
- $(1,2)$: $(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)$ より $1+2+3+3+5=14$
- $(2,2)$: すべてより $1+2+3+3+5+6=20$

よって射の総数は
$$1+3+6+6+14+20=50.$$
（参考: 関手は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$ 個で、そのうち恒等自然変換が $10$ 個含まれる。）

全順序集合 $P$ を圏とみなすと、関手 $F:P\to P$ は単調写像（広義単調増加）、自然変換 $F\Rightarrow G$ は、すべての $x$ で $F(x)\le G(x)$ のとき（そのときに限り）ちょうど 1 つ存在する（自然性の四角はすべて半順序圏で可換）。よって射の総数は $\#\{(F,G)\mid F\le G\text{（各点）}\}$。\n\n単調写像 $F$ を $(F(0),F(1),F(2))=(a,b,c)$, $a\le b\le c$ と書く。個数は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$: 000, 001, 002, 011, 012, 022, 111, 112, 122, 222。\n\n各 $F$ について $G\ge F$（各成分で $\ge$）となる $G$ の個数:\n- 000: 10\n- 001: $c^{\prime }\ge 1$ なので 000 以外の 9\n- 002: $c^{\prime }=2$: 002,012,022,112,122,222 の 6\n- 011: $b^{\prime }\ge 1$: 011,012,022,111,112,122,222 の 7\n- 012: $b^{\prime }\ge 1,c^{\prime }=2$: 012,022,112,122,222 の 5\n- 022: $b^{\prime }=2$: 022,122,222 の 3\n- 111: $a^{\prime }\ge 1$: 111,112,122,222 の 4\n- 112: 112,122,222 の 3\n- 122: 122,222 の 2\n- 222: 1\n\n合計 $10+9+6+7+5+3+4+3+2+1=50$。\n\n検算: 対称性として、各成分の組 $(F(x),G(x))$ の組は、順序対 $(F,G)$ を「区間 $[F(x),G(x)]$」の列とみなしても同じ個数になるが、ここでは直接列挙で $50$ と得た。恒等自然変換 10 個を含む。