圏論の問題

1. 関手の言いかえ

$[2]$ は各 Hom 集合の元が高々 $1$ 個の圏なので、関手 $F:\mathcal{P}\to [2]$ は対象の対応 $F$ だけで決まり、射 $p\le q$ を射 $F(p)\le F(q)$ に送れること、つまり $F$ が単調写像であることと同値である（合成と恒等射の保存は自動的に成り立つ）。よって関手は
$$F(a)\le F(c),F(b)\le F(c)$$
をみたす $(F(a),F(b),F(c))\in \{0,1,2{\}}^3$ と一対一に対応する。

2. 自然変換の言いかえ

関手 $F,G$ のあいだの自然変換 $\eta :F\Rightarrow G$ は、各 $p$ での成分 ${\eta }_p:F(p)\to G(p)$ の族である。成分は $F(p)\le G(p)$ のときに限りちょうど $1$ つ存在し、自然性の図式は $[2]$ の Hom 集合の元が高々 $1$ 個なので自動的に可換になる。したがって
$$|\mathrm{Nat}(F,G)|=\{\begin{array}{ll}1& (\text{すべての }p\text{ で }F(p)\le G(p))\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
であり、射の総数は $F\le G$（各点で）をみたす単調写像の組 $(F,G)$ の個数に等しい。

3. 数え上げ

$s=F(c)$, $t=G(c)$ とおくと $s\le t$ が必要である。$s,t$ を固定したとき、$a$ での値の組 $(x,y)=(F(a),G(a))$ がみたすべき条件は
$$x\le y,x\le s,y\le t$$
であり（$x\le s\le t$ なので $y$ は $x\le y\le t$ の $t-x+1$ 通り）、その個数は
$$N(s,t)=\sum _{x=0}^s(t-x+1)$$
である。$b$ での値の組も同じ条件を独立にみたせばよいので、$(s,t)$ ごとの個数は $N(s,t{)}^2$ である。

• $(s,t)=(0,0)$: $N=1$
• $(0,1)$: $N=2$
• $(0,2)$: $N=3$
• $(1,1)$: $N=2+1=3$
• $(1,2)$: $N=3+2=5$
• $(2,2)$: $N=3+2+1=6$

よって射の総数は
$$1^2+2^2+3^2+3^2+5^2+6^2=1+4+9+9+25+36=84$$

（参考: 対象の個数は ${\sum }_{k=0}^2(k+1{)}^2=14$ で、恒等自然変換 $14$ 個も上の $84$ 個に含まれている。）

答え: $84$

関手 $F:\mathcal{P}\to [2]$ は、$F(a)\le F(c)$, $F(b)\le F(c)$ をみたす単調写像、すなわち三つ組 $(x,y,z)=(F(a),F(b),F(c))$ で $x,y\le z$ となるものである。$[2]$ は半順序集合なので、$F\to F^{\prime }$ の自然変換は（存在すれば）一意で、存在条件は各成分で $F(p)\le F^{\prime }(p)$ が成り立つこと（自然性の四角は半順序圏では自動的に可換）。よって射の総数は、単調な三つ組の組 $(x,y,z)\le (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$（成分ごと）の個数である。\n\n$z\le z^{\prime }$ を固定する。$x$ について条件は $x\le z$, $x\le x^{\prime }$, $x^{\prime }\le z^{\prime }$、$y$ についても同様で独立。$x,x^{\prime }$ の組の数を $A(z,z^{\prime })={\sum }_{x^{\prime }=0}^{z^{\prime }}(\min (z,x^{\prime })+1)$ とすると、$(x,x^{\prime })$ と $(y,y^{\prime })$ は同じ個数なので、求める総数は ${\sum }_{z\le z^{\prime }}A(z,z^{\prime }{)}^2$。\n\n- $z^{\prime }=0$: $A(0,0)=1$。2乗和 $1$。\n- $z^{\prime }=1$: $A(0,1)=1+1=2$, $A(1,1)=1+2=3$。2乗和 $4+9=13$。\n- $z^{\prime }=2$: $A(0,2)=3$, $A(1,2)=1+2+2=5$, $A(2,2)=1+2+3=6$。2乗和 $9+25+36=70$。\n\n総数 $=1+13+70=84$。\n\n検算: 対象（関手）の数は ${\sum }_z(z+1{)}^2=1+4+9=14$。恒等射 14 個を含み、$84\ge 14$ で整合。また $\mathcal{P}$ を一点に潰した場合の類似計算（$[2]$ の射の数 $6$）と同様の方法で $z$ 成分のみ数えると $6$ 通り、各 $z\le z^{\prime }$ に対する $A^2$ の和として上記と一致する。