圏論の問題

関手を書き出す. 半順序集合の間の関手は順序を保つ写像なので、関手 $F:2\to 4$ は組 $(F(0),F(1))$ で $F(0)\le F(1)$ を満たすものと 1 対 1 に対応する。

自然変換の個数. 関手 $F,G:2\to 4$ の間の自然変換 $\alpha :F\Rightarrow G$ は、成分 ${\alpha }_0:F(0)\to G(0)$, ${\alpha }_1:F(1)\to G(1)$ の組である。$4$ では射は $p\le q$ のときだけちょうど 1 つあるので、成分が存在するのは $F(0)\le G(0)$ かつ $F(1)\le G(1)$ のときに限り、そのとき成分はそれぞれ 1 通りに決まる。自然性の図式
$$G(0\le 1)\circ {\alpha }_0={\alpha }_1\circ F(0\le 1)$$
は両辺とも $F(0)$ から $G(1)$ への射であり、$4$ では同じ始点・終点をもつ射は高々 1 つなので自動的に成り立つ。よって
$$|\mathrm{Nat}(F,G)|=\{\begin{array}{ll}1& (F(0)\le G(0)\text{かつ}F(1)\le G(1))\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
である。

射の総数を数える. したがって射の総数は、$\{0,1,2,3\}$ の元 $a=F(0)$, $b=F(1)$, $c=G(0)$, $d=G(1)$ で
$$a\le b,c\le d,a\le c,b\le d$$
を満たすものの個数に等しい。これは $a\le b\le d$ かつ $a\le c\le d$ ということなので、$a$ と $d$（$a\le d$）を先に決めると、$b$ と $c$ はそれぞれ $a$ 以上 $d$ 以下の $d-a+1$ 個から独立に選べ、$(d-a+1{)}^2$ 通りある。

$k=d-a$ とおくと、$a\le d$ となる組 $(a,d)$ で差が $k$ のものは $4-k$ 個ある（$k=0,1,2,3$）。積の法則と和の法則により
$$\sum _{k=0}^3(4-k)(k+1{)}^2=4\cdot 1+3\cdot 4+2\cdot 9+1\cdot 16=4+12+18+16=50.$$

よって関手圏 $[2,4]$ の射の総数は $50$ である。

$4$ は半順序集合なので、関手 $2\to 4$ は単調写像 $f$ であり、$(a,b)=(f(0),f(1))$ で $a\le b$ を満たす組と同一視できる。このような組は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)+4=10$ 個ある。

2 つの関手 $(a,b),(a^{\prime },b^{\prime })$ の間の自然変換は、成分 $a\to a^{\prime }$, $b\to b^{\prime }$（すなわち $a\le a^{\prime }$, $b\le b^{\prime }$）を与えるもので、自然性の条件は 4 が半順序集合（射がたかだか 1 つ）なので自動的に成り立つ。したがって射は $a\le a^{\prime }$ かつ $b\le b^{\prime }$ のときにちょうど 1 つ存在する。

射の総数は、$a\le b$, $a^{\prime }\le b^{\prime }$, $a\le a^{\prime }$, $b\le b^{\prime }$ を満たす $(a,b,a^{\prime },b^{\prime })$ の個数である。$(a,b)$ ごとに $(a^{\prime },b^{\prime })$ の個数を数える。
- $(0,0)$: 10
- $(0,1)$: 9
- $(0,2)$: 7
- $(0,3)$: 4
- $(1,1)$: 6
- $(1,2)$: 5
- $(1,3)$: 3
- $(2,2)$: 3
- $(2,3)$: 2
- $(3,3)$: 1

合計は $10+9+7+4+6+5+3+3+2+1=50$。

検算: 条件は $a\le a^{\prime }\le b^{\prime }$ かつ $a\le b\le b^{\prime }$ と書ける。$a\le b^{\prime }$ を固定して数える別の方法でも、$(a,b^{\prime })$ ごとに $a\le x\le b^{\prime }$ を満たす $a^{\prime },b$ が独立に選べるので ${\sum }_{a\le b^{\prime }}(b^{\prime }-a+1{)}^2=4\cdot 1+3\cdot 4+2\cdot 9+1\cdot 16=4+12+18+16=50$。一致する。