圏論

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。合成は、$p\le q$ と $q\le r$ の射の合成を $p\le r$ の射とすることで定め、恒等射は $p\le p$ の射とする。

集合 $Q=\{0,1\}\times \{0,1,2\}$ に、成分ごとの順序
$$(a,b)\le (a^{\prime },b^{\prime })⟺a\le a^{\prime }\text{かつ}b\le b^{\prime }$$
（各成分の $\le$ は整数の通常の大小）を入れた半順序集合を考える。これを上のように圏とみなしたとき、この圏の射の総数（恒等射も含める）を求めよ。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

$S=\{0,1\}\times \{0,1\}$ に成分ごとの順序
$$(a,b)\le (a^{\prime },b^{\prime })⟺a\le a^{\prime }\text{かつ}b\le b^{\prime }$$
を入れた半順序集合を圏 $\mathcal{S}$ とみなし、$C=\{0,1,2\}$ に通常の大小の順序を入れた全順序集合を圏 $\mathcal{C}$ とみなす。関手 $F:\mathcal{S}\to \mathcal{C}$ の個数を求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=\{1,2,3,\dots ,20\}$, $B=\{0,1,2,3,4,5\}$ とし、写像 $f,g:A\to B$ を
$$f(a)=(a\text{ を }6\text{ で割った余り}),g(a)=(a\text{ を }4\text{ で割った余り})$$
で定める。$\mathbf{FinSet}$ における $f$ と $g$ の等化子を $e:E\to A$ とするとき、集合 $E$ の要素の個数 $|E|$ を求めよ。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

$2=\{0,1\}$（$0<1$）と $4=\{0,1,2,3\}$（$0<1<2<3$）を通常の大小関係による全順序集合とし、上のようにして圏とみなす。関手圏 $[2,4]$ を、対象が関手 $2\to 4$、射が関手の間の自然変換、合成が自然変換の各成分ごとの合成である圏とする。

関手圏 $[2,4]$ の射の総数（恒等自然変換も含める）を求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。有限集合
$$A=\{1,2,3,4,5\},B=\{p,q,r,s,t\},C=\{u,v,w,z\}$$
（それぞれ書かれた元はすべて相異なる）と、写像 $f:A\to B$, $g:A\to C$ を次の表で定める。

$\mathbf{FinSet}$ における図式 $B\stackrel{f}{\leftarrow }A\stackrel{g}{\to }C$ の押し出し（プッシュアウト）を $B{\bigsqcup }_{A}C$ とする。集合 $B{\bigsqcup }_{A}C$ の要素の個数を求めよ。

$G=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{0,1,2,3\}$ を $4$ を法とする加法による群とする。対象がただ $1$ つ $\ast$ で、射 $\ast \to \ast$ が $G$ の元、射の合成が $G$ の加法、恒等射が $0$ であるような圏を $\mathbf{B}G$ とする。集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とする。

正方形の $4$ つの頂点に $0,1,2,3$ と番号をつけ、各頂点を赤・青・黄の $3$ 色のいずれかで塗る塗り方（写像 $c:\{0,1,2,3\}\to \{\text{赤},\text{青},\text{黄}\}$）全体の集合を $S$ とする。関手 $F:\mathbf{B}G\to \mathbf{Set}$ を、$F(\ast )=S$ とし、射 $k\in G$ に対して写像 $F(k):S\to S$ を
$$(F(k)(c))(i)=c(i-k)(i\in \{0,1,2,3\},\text{引き算は}4\text{を法とする})$$
で定める（塗り方を $k$ 番だけ回転させる）。

表現可能関手 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{B}G}(\ast ,-):\mathbf{B}G\to \mathbf{Set}$ から $F$ への自然変換の個数を求めよ。

群と群準同型のなす圏を $\mathbf{Grp}$、集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、群をその台集合に送る忘却関手を $U:\mathbf{Grp}\to \mathbf{Set}$ とする。$U$ は左随伴 $F:\mathbf{Set}\to \mathbf{Grp}$ をもち、集合 $X$ に対して $F(X)$ は $X$ 上の自由群である。すなわち、集合 $X$ と群 $H$ に対して、自然な全単射
$${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Grp}}(F(X),H)\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(X,U(H))$$
がある。

$X=\{x,y,z\}$ を $3$ 個の元からなる集合とし、$S_3$ を $\{1,2,3\}$ の置換全体のなす対称群とする。群準同型 $F(X)\to S_3$ の個数を求めよ。

集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、$[3]=\{1,2,3\}$ とおく。関手 $F,G:\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。

• $F(X)$ は、$X^3$ に「$(x_1,x_2,x_3)\sim (x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)})$（$\sigma$ は $[3]$ の置換）」という同値関係を入れた商集合 $X^3/\sim$（$X$ の元を重複を許して $3$ 個選んだ組の全体）とする。写像 $f:X\to Y$ に対して $F(f)$ は $[(x_1,x_2,x_3)]\mapsto [(f(x_1),f(x_2),f(x_3))]$ とする。
• $G(X)=\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$（$X$ の部分集合からなる族の全体）とする。写像 $f:X\to Y$ に対して $G(f)$ は $\mathcal{A}\mapsto \{f(A)\mid A\in \mathcal{A}\}$ とする。ここで $f(A)=\{f(a)\mid a\in A\}$ である。

$F$ から $G$ への自然変換の個数を求めよ。

群 $K$ に対し、$K$ が左から作用する集合（左 $K$ 集合）と $K$ 同変写像のなす圏を $K\text{-}\mathbf{Set}$ とする。$K$ の部分群 $L$ に対し、$K/L$ は左剰余類全体の集合に $K$ が左乗法で作用する $K$ 集合とする。

$G=⟨g⟩$ を $g$ で生成される位数 $6$ の巡回群（単位元 $e$）とし、$H=⟨g^3⟩=\{e,g^3\}$ とする。左 $H$ 集合 $X$ を
$$X=\{p\}\bigsqcup H$$
で定める。ここで $H$ は 1 点 $p$ に自明に作用し、$H$ 自身には左乗法で作用する。また、左 $H$ 集合 $X$ に対し、誘導 $G{\times }_{H}X$ を、$G\times X$ を同値関係 $(gh,x)\sim (g,hx)$ $(g\in G,h\in H,x\in X)$ で割った集合に $G$ が $g^{\prime }\cdot [g,x]=[g^{\prime }g,x]$ で作用する左 $G$ 集合とする。

左 $G$ 集合 $Y$ を
$$Y=G/⟨g^2⟩\bigsqcup G/⟨g^3⟩\bigsqcup G$$
で定める（最後の $G$ には $G$ が左乗法で作用する）。$G$ 同変写像 $G{\times }_{H}X\to Y$ の個数を求めよ。

対象が $0,1$ の $2$ つで、恒等射以外の射が $i:0\to 1$ の $1$ つだけである圏を $\mathcal{C}$ とする（半順序集合 $\{0<1\}$ を圏とみなしたもの）。$\mathcal{C}$ 上の前層とは関手 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことであり、前層 $X$ は $2$ つの集合 $X(0),X(1)$ と写像 $X(i):X(1)\to X(0)$ で決まる。前層の射とは前層の間の自然変換のことである。

前層 $X,Y$ を次で定める。
- $X(1)=\{a,b,c\}$、$X(0)=\{u,v\}$、$X(i)(a)=X(i)(b)=u$、$X(i)(c)=v$
- $Y(1)=\{1,2,3,4,5\}$、$Y(0)=\{p,q,r\}$、$Y(i)(1)=Y(i)(2)=p$、$Y(i)(3)=Y(i)(4)=Y(i)(5)=q$

前層の射 $X\to Y$ の個数を求めよ。

$n\ge 0$ を整数とし、$[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなす。対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことで、$X([m])$ の元を $X$ の $m$ 単体とよぶ。$m$ 単体 $x$ が退化しているとは、ある $(m-1)$ 単体 $y$ と全射な広義単調増加写像 $\sigma :[m]\to [m-1]$ があって $x=X(\sigma )(y)$ と書けることをいう（$m\ge 1$ のとき）。

標準 $4$ 単体 ${\Delta }^4={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[4])$ の $2$ 単体のうち、退化しているものの個数を求めよ。

$n\ge 0$ を整数とし、$[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなす。対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことで、$X([m])$ の元を $m$ 単体とよぶ。$m$ 単体が退化しているとは、ある全射な広義単調増加写像 $\sigma :[m]\to [m-1]$ と $(m-1)$ 単体 $y$ によって $X(\sigma )(y)$ と書けることをいい、そうでない単体を非退化という。標準単体を ${\Delta }^n={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[n])$ とし、単体的集合の積 $X\times Y$ は各 $[m]$ ごとの直積 $(X\times Y)([m])=X([m])\times Y([m])$ で定める。

積 ${\Delta }^1\times {\Delta }^2$ の非退化な $2$ 単体の個数を求めよ。

モノイドとは単位元をもつ半群のことであり、モノイド準同型は積と単位元を保つ写像とする。モノイドとモノイド準同型のなす圏を $\mathbf{Mon}$、集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、忘却関手 $U:\mathbf{Mon}\to \mathbf{Set}$ の左随伴（自由モノイド関手）を $F:\mathbf{Set}\to \mathbf{Mon}$ とする。

$T_3$ を集合 $\{1,2,3\}$ からそれ自身への写像全体が写像の合成を積、恒等写像を単位元としてなすモノイドとし、$X=\{a,b\}$ とする。hom 集合 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Mon}}(F(X),T_3)$ の元の個数を求めよ。

$12$ の正の約数全体 $P=\{1,2,3,4,6,12\}$ を整除関係 $d\mid e$ で順序づけた半順序集合とみなし、これを圏 $\mathcal{P}$ とする（対象は $P$ の元で、$d\mid e$ のときに限り $d$ から $e$ への射がちょうど 1 本ある）。

共変関手 $F:\mathcal{P}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。各 $d\in P$ に対し
$$F(d)=\{(a,b)\mid a,b\text{ は }d\text{ の正の約数で }a\mid b\}$$
とし、$d\mid e$ の射に対しては包含写像 $F(d)\hookrightarrow F(e)$ を対応させる。

表現可能関手 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{P}}(6,-):\mathcal{P}\to \mathbf{Set}$ から $F$ への自然変換の個数を求めよ。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

集合 $X=\{1,2,3,4\}$ の部分集合全体を包含関係 $\subseteq$ で順序づけた半順序集合を圏とみなしたものを $\mathcal{P}$ とし、$3$ つの元からなる全順序集合 $\{0<1<2\}$ を圏とみなしたものを $3$ とする。

関手 $F:3\to \mathcal{P}$ の個数を求めよ。ただし、2 つの関手は、対象への対応と射への対応がともに一致するときに限り同じとみなす。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=B=\{1,2,3,\dots ,10\}$、$C=\{0,1,2\}$ とし、写像 $f:A\to C$, $g:B\to C$ を
$$f(a)=(a\text{を}3\text{で割った余り}),g(b)=(b^2\text{を}3\text{で割った余り})$$
で定める。

$\mathbf{FinSet}$ における $f$ と $g$ の引き戻し（ファイバー積）を $P=A{\times }_{C}B$ とし、その射影を $p_1:P\to A$, $p_2:P\to B$ とする。さらに、スパン $A\stackrel{p_1}{\leftarrow }P\stackrel{p_2}{\to }B$ の $\mathbf{FinSet}$ における押し出しを $Q$ とする。

集合 $P$ の要素の個数と集合 $Q$ の要素の個数を、この順に組 $(|P|,|Q|)$ で答えよ。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

集合 $\{1,2,3,4\}$ の分割（空でない互いに素な部分集合（ブロック）への分け方）全体を ${\Pi }_4$ とし、分割 $\pi ,\sigma$ について「$\pi$ の各ブロックが $\sigma$ のあるブロックに含まれる」ときに $\pi \le \sigma$ と定める（細分による順序）。この半順序集合 $({\Pi }_4,\le )$ を圏とみなしたとき、射（恒等射も含む）の総数を求めよ。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

$P=\{0,1,2\}$ を通常の順序 $0<1<2$ で全順序集合とみなした圏とする。関手 $F:P\to P$ を対象とし、関手の間の自然変換を射とする関手圏を $[P,P]$ とする。

関手圏 $[P,P]$ の射（自然変換）の総数を求めよ。ただし、すべての対象の組 $(F,G)$ についての $F$ から $G$ への自然変換を合計し、恒等自然変換も数に含める。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=B=\{0,1,2,\dots ,11\}$ とし、写像 $f,g:A\to B$ を
$$f(x)=(x^2\text{ を }12\text{ で割った余り}),g(x)=(3x\text{ を }12\text{ で割った余り})$$
で定める。$\mathbf{FinSet}$ における平行な射の組 $f,g:A\rightrightarrows B$ の余等化子（コイコライザー）$q:B\to Q$ をとるとき、集合 $Q$ の要素の個数を求めよ。

有限集合（空集合を含む）とその間のすべての写像からなる圏を $\mathbf{FinSet}$ とし、有限集合 $S$ の要素の個数を $|S|$ で表す。有限集合 $A,B$ と写像 $f,g:A\to B$ に対し、$q:B\to Q$ を $\mathbf{FinSet}$ における $f,g$ の余等化子とする。このとき
$$|Q|\ge |B|-|A|$$
が成り立つことを示せ。

ただし、次の事実は用いてよい: $B$ 上の関係 $\{(f(a),g(a))\mid a\in A\}$ を含む最小の同値関係を $\sim$ とするとき、商写像 $B\to B/\sim$ は $f,g$ の余等化子である。

$M=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}=\{0,1,2,\dots ,11\}$ を、$12$ を法とする乗法によりモノイド（単位元 $1$）とみなす。

$M$ から次のように圏 $\mathcal{K}(M)$ を作る。
- 対象は、$M$ の冪等元、すなわち $e\cdot e=e$ を満たす $e\in M$ である。
- 対象 $e$ から $f$ への射の集合を $$\mathrm{Hom}(e,f)=\{m\in M\mid f\cdot m\cdot e=m\}$$ と定める。
- 射 $m:e\to f$ と $n:f\to g$ の合成を $n\cdot m:e\to g$ とし、対象 $e$ の恒等射を $e$ とする。

（これは $M$ の冪等元完備化（カルービ包絡）と呼ばれる圏である。）圏 $\mathcal{K}(M)$ の射の総数、すなわち対象の順序対 $(e,f)$ すべてにわたる $|\mathrm{Hom}(e,f)|$ の和を求めよ。

$k={\mathbb{F}}_3=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ とし、$k$ 上の有限次元ベクトル空間と $k$ 線形写像のなす圏を $\mathcal{V}$ とする。集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とする。

$V\in \mathcal{V}$ に対し、$V{\otimes }_{k}V$ の部分空間 $W_V=\mathrm{span}\{v\otimes v\mid v\in V\}$ による商空間を ${\Lambda }^{2}V=(V{\otimes }_{k}V)/W_V$ とし、$v\otimes w$ の像を $v\wedge w$ と書く。線形写像 $f:V\to V^{\prime }$ に対し $f\otimes f$ は $W_V$ を $W_{V^{\prime }}$ に移すので、線形写像 ${\Lambda }^{2}f:v\wedge w\mapsto f(v)\wedge f(w)$ が定まる。

関手 $F,G:\mathcal{V}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。
- $F(V)=(V\times V)\bigsqcup (V\times V\times V)$（集合としての直積の非交和）とし、線形写像 $f$ に対して $F(f)$ は各成分に $f$ を施す写像 $(v,w)\mapsto (f(v),f(w))$, $(u,v,w)\mapsto (f(u),f(v),f(w))$ とする。
- $G(V)$ は ${\Lambda }^{2}V$ の台集合とし、$G(f)={\Lambda }^{2}f$ とする。

自然変換 $F\Rightarrow G$ の個数を求めよ（自然変換の成分は線形である必要はなく、単なる写像でよい）。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。

圏 $\mathcal{J}$ を次のように定める。対象は $1,2,3$ の $3$ つである。恒等射以外の射は
$$\alpha :1\to 2,\beta :1\to 3,\gamma :3\to 2,\delta :1\to 2$$
の $4$ つだけであり（$\alpha \ne \delta$）、恒等射でない射どうしの合成は $\gamma \circ \beta =\delta$ だけが定義される。

$A=B=\{0,1,2,\dots ,20\}$、$C=\{0,1,\dots ,6\}$ とし、関手 $F:\mathcal{J}\to \mathbf{FinSet}$ を
$$F(1)=A,F(2)=B,F(3)=C,$$
$$F(\alpha )(x)=(x^2\text{ を }21\text{ で割った余り}),F(\beta )(x)=(x\text{ を }7\text{ で割った余り}),$$
$$F(\gamma )(z)=(3z\text{ を }21\text{ で割った余り}),F(\delta )=F(\gamma )\circ F(\beta )$$
で定める（$x\in A$, $z\in C$）。

$F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$（いずれも $\mathbf{FinSet}$ における）の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

$B=\{0,1,2,\dots ,19\}$ を $20$ 個の元からなる有限集合とする。写像 $f,g:B\to B$ を、$x\in B$ に対して
$$f(x)=(2x\text{ を }20\text{ で割った余り}),g(x)=(3x\text{ を }20\text{ で割った余り})$$
で定める（値はいずれも $0$ 以上 $19$ 以下の整数で、$B$ の元である）。

有限集合を対象とし、写像を射とする圏 $\mathbf{FinSet}$ において、平行な射の組 $f,g:B\rightrightarrows B$ の余等化子 $q:B\to Q$ を考える。すなわち $q\circ f=q\circ g$ を満たし、$h\circ f=h\circ g$ を満たす任意の写像 $h:B\to C$（$C$ は有限集合）に対して $h=u\circ q$ となる写像 $u:Q\to C$ がただ 1 つ存在するような $q:B\to Q$ である。ここで $B$ は単なる有限集合として扱い、群や環などの代数的構造は考えない（余等化子は $\mathbf{FinSet}$ の中でとる）。余等化子は同型を除いて一意なので、$Q$ の元の個数は一意に決まる。$Q$ の元の個数を求めよ。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を順序を保つ（広義単調増加な）写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことであり、$X_n=X([n])$ の元を $n$ 単体という。$n$ 単体 $x\in X_n$ が退化しているとは、ある全射 $s:[n]\to [m]$（$m<n$）と $y\in X_m$ があって $x=X(s)(y)$ と書けることをいい、退化していない単体を非退化単体という。

${\Delta }^p={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[p])$ を標準 $p$ 単体とし、単体的集合の積は各次数ごとの直積 $(X\times Y{)}_n=X_n\times Y_n$ で定める。単体的集合 ${\Delta }^2\times {\Delta }^2$ の非退化単体の個数（すべての次元 $n\ge 0$ にわたる総数）を求めよ。

対象が $V,E$ の $2$ つで、恒等射以外の射が $s,t:V\to E$ の $2$ つだけである圏を $\mathcal{C}$ とする（恒等射でない射どうしの合成は存在しない）。関手 $X:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ を前層とよび、$X(V)$ を頂点の集合、$X(E)$ を辺の集合、辺 $x\in X(E)$ に対して $X(s)(x)$ をその始点、$X(t)(x)$ をその終点と考える（有向グラフ）。

前層 $P$ を
$$P(V)=\{0,1,2,3\},P(E)=\{a_1,a_2,a_3\},P(s)(a_i)=i-1,P(t)(a_i)=i(i=1,2,3)$$
で定め、前層 $H$ を
$$H(V)=\{1,2,3\},H(E)=\{e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6\}$$
とし、各辺の始点と終点を
$$e_1:1\to 2,e_2:1\to 2,e_3:2\to 3,e_4:3\to 1,e_5:2\to 2,e_6:3\to 3$$
で定める（$e_k:u\to v$ は $H(s)(e_k)=u$, $H(t)(e_k)=v$ を表す）。

自然変換 $P\Rightarrow H$ の個数を求めよ。

群と群準同型のなす圏を $\mathbf{Grp}$、アーベル群と群準同型のなす圏を $\mathbf{Ab}$ とする。包含関手 $\iota :\mathbf{Ab}\to \mathbf{Grp}$ は左随伴 $(-{)}^{\mathrm{ab}}:\mathbf{Grp}\to \mathbf{Ab}$, $H\mapsto H^{\mathrm{ab}}=H/[H,H]$（アーベル化）をもつ。

$S_4$ を $4$ 次対称群、$Q_8=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ を位数 $8$ の四元数群とし、群
$$G=S_4\times Q_8\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$$
を考える。また、アーベル群
$$A=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$$
を考える。hom 集合 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Grp}}(G,\iota A)$、すなわち $G$ から $A$ への群準同型全体の集合の要素の個数を求めよ。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 ${\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことである。

小さい圏 $\mathcal{C}$ の脈体（nerve）$N\mathcal{C}$ を、$n$ 単体の集合 $N{\mathcal{C}}_n$ が $\mathcal{C}$ の合成可能な射の列
$$c_0\stackrel{f_1}{\to }{c}_1\stackrel{f_2}{\to }\cdots \stackrel{f_n}{\to }{c}_n$$
全体（$n=0$ のときは対象全体）であり、面写像が射の合成（両端では射の除去）、退化写像が恒等射の挿入で与えられる単体的集合とする。$n$ 単体が非退化であるとは、それがどの退化写像の像にも入らないことをいう。

圏 $\mathcal{C}$ を次で定める。対象は $x,y$ の $2$ つで、射は
$$\mathrm{Hom}(x,x)=\{{\mathrm{id}}_x\},\mathrm{Hom}(x,y)=\{u\},\mathrm{Hom}(y,x)=\{v\},\mathrm{Hom}(y,y)=\{{\mathrm{id}}_y,e\}$$
であり、恒等射以外の合成は
$$v\circ u={\mathrm{id}}_x,u\circ v=e,e\circ e=e,e\circ u=u,v\circ e=v$$
で与えられる。

脈体 $N\mathcal{C}$ の非退化な $10$ 単体の個数を求めよ。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。${\mathbb{F}}_3=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ とする。

可換 ${\mathbb{F}}_3$ 代数 $A$ であって、すべての $a\in A$ について $a^3=a$ を満たすもの全体を対象とし、${\mathbb{F}}_3$ 代数の準同型を射とする圏を $\mathcal{C}$ とする。忘却関手 $U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$（$A$ をその台集合に送る）と、その直積 $U\times U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$, $A\mapsto U(A)\times U(A)$ を考える。

自然変換 $U\times U\Rightarrow U$ の個数を求めよ。

0 以上の整数 $n$ に対して $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を（広義）単調写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことで、$X_n=X([n])$ とおき、$X_n$ の要素を $n$-単体という。$n\ge 1$ と $0\le i\le n-1$ に対して、全射単調写像 ${\sigma }_i:[n]\to [n-1]$ を
$${\sigma }_i(j)=\{\begin{array}{ll}j& (j\le i)\\ j-1& (j\ge i+1)\end{array}$$
で定める。$x\in X_n$ が退化しているとは、ある $0\le i\le n-1$ と $y\in X_{n-1}$ により $x=X({\sigma }_i)(y)$ と書けることをいい、そうでない単体を非退化という（$0$-単体はすべて非退化）。

0 以上の整数 $p$ に対して $\Delta [p]={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[p])$ とし（$\theta :[m]\to [n]$ に対して $\Delta [p](\theta )(f)=f\circ \theta$）、単体的集合 $X,Y$ の積 $X\times Y$ を $(X\times Y{)}_n=X_n\times Y_n$、$(X\times Y)(\theta )=X(\theta )\times Y(\theta )$ で定める。

0 以上の整数 $p,q$ に対して、単体的集合 $\Delta [p]\times \Delta [q]$ は、$n>p+q$ ならば非退化 $n$-単体をもたず、非退化 $(p+q)$-単体をちょうど $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p+q}{p}\right)$ 個もつことを示せ。

$N\ge 2$ を整数とし、その素因数分解を $N=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}$（$p_1,\dots ,p_r$ は相異なる素数、$e_1,\dots ,e_r$ は正の整数）とする。$N$ の正の約数全体の集合を $D(N)$ とし、整除関係 $a\mid b$ による半順序集合 $(D(N),\mid )$ を圏 $\mathcal{C}$ とみなす。すなわち $\mathcal{C}$ の対象は $D(N)$ の要素で、$a,b\in D(N)$ に対し $a\mid b$ のとき ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(a,b)$ はただ 1 つの射 $a\to b$ からなり、そうでないとき空集合である（合成は一意に定まるものとする）。

正の整数 $k$ に対して、$\mathcal{C}$ の射の列 $(f_1,f_2,\dots ,f_k)$ で、各 $1\le j\le k-1$ について $f_j$ の終域と $f_{j+1}$ の始域が一致するもの（合成可能な $k$ 個の射の列）全体の集合を ${\mathcal{C}}_k$ とする（${\mathcal{C}}_1$ は $\mathcal{C}$ の射全体）。このとき
$$|{\mathcal{C}}_k|=\prod _{i=1}^r\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{e_i+k+1}{k+1}\right)$$
が成り立つことを示せ。素因数分解の一意性は用いてよい。

$M$ をモノイド（積を $mn$、単位元を $e$ と書く）とする。集合 $A$ と写像 $M\times A\to A,(m,a)\mapsto m\cdot a$ の組で、すべての $m,n\in M,a\in A$ に対して $e\cdot a=a$ かつ $m\cdot (n\cdot a)=(mn)\cdot a$ を満たすものを左 $M$ 集合という。左 $M$ 集合を対象とし、$M$ 同変写像（$h(m\cdot a)=m\cdot h(a)$ を満たす写像 $h$）を射とする圏を $M\text{-}\mathbf{Set}$ とし、作用を忘れる関手を $U:M\text{-}\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ とする。

集合 $X$ に対し、$M$ から $X$ へのすべての写像の集合を $R(X)$ とし、$m\in M,f\in R(X)$ に対して $m\cdot f\in R(X)$ を
$$(m\cdot f)(n)=f(nm)(n\in M)$$
で定める。また、写像 $g:X\to Y$ に対し $R(g):R(X)\to R(Y)$ を $R(g)(f)=g\circ f$ で定める。

次を証明せよ: $R$ は関手 $\mathbf{Set}\to M\text{-}\mathbf{Set}$ を定め、左 $M$ 集合 $A$ と集合 $X$ に対して
$${\Phi }_{A,X}:{\mathrm{Hom}}_{M\text{-}\mathbf{Set}}(A,R(X))\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(U(A),X),{\Phi }_{A,X}(\phi )(a)=\phi (a)(e)$$
で定まる写像は全単射であり、$A$ と $X$ について自然である。すなわち $U$ は $R$ の左随伴である（$U⊣R$）。

集合 $X$ と二項演算 $X\times X\to X,(x,y)\mapsto x\ast y$ と元 $e\in X$ の組 $(X,\ast ,e)$ で、すべての $x,y\in X$ に対して $x\ast y=y\ast x$ かつ $e\ast x=x$ を満たすものを単位的可換マグマという（結合法則は仮定しない）。$(X,\ast ,e)$ から $(X^{\prime },{\ast }^{\prime },e^{\prime })$ への射を、$h(x\ast y)=h(x){\ast }^{\prime }h(y)$ と $h(e)=e^{\prime }$ を満たす写像 $h:X\to X^{\prime }$ とし、この圏を $\mathbf{CUMag}$ とする。

次の有限積スケッチ $\mathcal{S}$ を考える。
- グラフ: 頂点は $1,A,P$ の 3 つ。辺は
$$p_1,p_2:P\to A,m:P\to A,t:P\to P,u:1\to A,k:A\to 1,r:A\to P$$
の 7 本。
- 可換であるべき図式（道の等式。${\mathrm{id}}_A$ は長さ 0 の道）:
$$p_1\circ t=p_2,p_2\circ t=p_1,m\circ t=m,p_1\circ r={\mathrm{id}}_A,p_2\circ r=u\circ k,m\circ r={\mathrm{id}}_A.$$
- 錐: 頂点 $1$ をもつ空の図式上の錐 ${\lambda }_0$ と、頂点 $P$ をもち 2 つの頂点 $A,A$ からなる離散図式上の錐 ${\lambda }_2=(p_1,p_2)$ の 2 つ。

$\mathcal{S}$ の（集合の圏 $\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $v$ に集合 $M(v)$ を、各辺 $f:v\to w$ に写像 $M(f):M(v)\to M(w)$ を対応させたもので、上の 6 つの等式が写像の等式として成り立ち（${\mathrm{id}}_A$ は $M(A)$ の恒等写像と読む）、錐 ${\lambda }_0,{\lambda }_2$ を $\mathbf{Set}$ の極限錐に移すものとする。すなわち $M(1)$ は 1 点集合であり、写像 $c_M=(M(p_1),M(p_2)):M(P)\to M(A)\times M(A)$ は全単射である。モデル $M$ から $N$ への射とは、写像の族 ${\alpha }_v:M(v)\to N(v)(v=1,A,P)$ で、すべての辺 $f:v\to w$ に対して $N(f)\circ {\alpha }_v={\alpha }_w\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとの合成で定める。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

モデル $M$ に対して $M(1)=\{{\ast }_M\}$ とし、$M(A)$ 上の演算と元を
$$x\ast y=M(m)(c_M^{-1}(x,y)),e=M(u)({\ast }_M)$$
で定め、モデルの射 $\alpha$ に ${\alpha }_A$ を対応させる。この対応 $\Phi$ が関手 $\Phi :\mathbf{Mod}(\mathcal{S})\to \mathbf{CUMag}$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。

この問題では、環は可換で単位元 $1$ をもち、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。$1\ne 0$ であって $0$ 以外のすべての元が乗法の逆元をもつ可換環を体といい、体を対象、環準同型を射とする圏を $\mathbf{Field}$ とする。

有限極限スケッチ $\mathcal{S}=(G,D,L)$ とは、次の組のことをいう。
- $G$ は（有向）グラフ（頂点の集合と辺の集合、各辺の始点と終点）。
- $D$ は、始点と終点が同じである $G$ の道（長さ 0 の道を含む）の組 $(\sigma ,\tau )$ の集合。
- $L$ は錐の集合。各錐は、頂点 $v$、有限グラフ $I$ とグラフの準同型 $\delta :I\to G$、および $I$ の各頂点 $i$ に対する $G$ の辺 ${\lambda }_i:v\to \delta (i)$ からなる。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、$G$ の各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺 $f:w\to w^{\prime }$ に写像 $M(f):M(w)\to M(w^{\prime })$ を対応させたもので、次の 2 条件を満たすものとする。
- $D$ の各組 $(\sigma ,\tau )$ について、道に沿った写像の合成が等しい（長さ 0 の道は恒等写像と読む）。
- $L$ の各錐 $(v,\delta ,({\lambda }_i))$ について、$I$ の頂点 $i$ にわたる直積の部分集合
$$\Lambda =\{(x_i{)}_i\in \prod _{i}M(\delta (i))|I\text{ の各辺 }a:i\to j\text{ について }M(\delta (a))(x_i)=x_j\}$$
を考えたとき、写像 $x\mapsto (M({\lambda }_i)(x){)}_i$ が $M(v)$ から $\Lambda$ への全単射である（$I$ の頂点がないとき ${\prod }_{i}M(\delta (i))$ は 1 点集合とする）。

モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)$（$w$ は $G$ の頂点全体を動く）で、$G$ のすべての辺 $f:w\to w^{\prime }$ について $N(f)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとの合成で定める。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

どのような有限極限スケッチ $\mathcal{S}$ に対しても、$\mathbf{Field}$ は $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ と圏同値でないことを証明せよ。ただし、圏同値を与える関手は充満忠実かつ本質的全射であることは用いてよい。

半順序集合 $(P,\le )$ は、対象を $P$ の元とし、$c\le d$ のときに限り $c$ から $d$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。

$P=\{a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2\}$ とする。$P$ 上の半順序 $\le$ は、反射律による $c\le c$ $(c\in P)$ と、次の $6$ つの関係だけからなるものとする。
$$a_0\le b_0,a_1\le b_0,a_1\le b_1,a_2\le b_1,a_2\le b_2,a_0\le b_2$$
（これら以外の異なる $2$ 元の間には順序関係はない。）

${\mathbb{F}}_{13}=\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ を $13$ 個の元からなる有限集合とみなす。関手 $F:P\to \mathbf{FinSet}$ を、すべての対象 $c\in P$ に対して $F(c)={\mathbb{F}}_{13}$ とし、恒等射を恒等写像に、恒等射以外の $6$ 本の射を次の写像に移すものとして定める（$x\in {\mathbb{F}}_{13}$ であり、べきは ${\mathbb{F}}_{13}$ の乗法で計算する）。
$$\begin{array}{rlrl}F(a_0\le b_0)& :x\mapsto x^2,& F(a_1\le b_0)& :x\mapsto x^3,\\ F(a_1\le b_1)& :x\mapsto x^4,& F(a_2\le b_1)& :x\mapsto x^2,\\ F(a_2\le b_2)& :x\mapsto x^3,& F(a_0\le b_2)& :x\mapsto x^4.\end{array}$$

$\mathbf{FinSet}$ における $F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$（いずれも同型を除いて一意に定まる有限集合）の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。関手 $F:\mathbf{FinSet}\to \mathbf{FinSet}$ を次のように定める。

• 有限集合 $X$ に対して $F(X)=X^4=X\times X\times X\times X$
• 写像 $f:X\to Y$ に対して $F(f)(x_1,x_2,x_3,x_4)=(f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4))$

自然変換 $\eta :F\Rightarrow F$ のうち、自分自身との垂直合成について $\eta \circ \eta =\eta$ を満たすものの個数を求めよ。ここで $\eta \circ \eta =\eta$ とは、すべての有限集合 $X$ について ${\eta }_X\circ {\eta }_X={\eta }_X$ が成り立つことをいう。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環準同型は $1$ を $1$ に写すものとする。また、モノイドは単位元をもち、モノイド準同型は単位元を単位元に写すものとする。

$M$ を、剰余環 $\mathbb{Z}/504\mathbb{Z}$ の乗法だけに注目して得られる可換モノイド $(\mathbb{Z}/504\mathbb{Z},\cdot )$ とする（単位元は $1$ の類）。$M$ のモノイド環 $\mathbb{Z}[M]$ を次で定める。$\mathbb{Z}[M]$ は $M$ の各元 $m$ に対応する記号 $[m]$ 全体を基底とする自由 $\mathbb{Z}$ 加群で、積は
$$[m][m^{\prime }]=[m{m}^{\prime }](m,m^{\prime }\in M)$$
を双線形に拡張して定める（単位元は $[1]$ である。なお、$0\in M$ に対応する基底元 $[0]$ は $\mathbb{Z}[M]$ の零元ではない）。

$13$ 個の元からなる有限体を ${\mathbb{F}}_{13}$ とする。環準同型 $\mathbb{Z}[M]\to {\mathbb{F}}_{13}$ の個数を求めよ。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなす。対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことであり、$X_n=X([n])$ の元を $X$ の $n$ 単体という。

$0\le i\le n-1$ に対し、${\sigma }_i:[n]\to [n-1]$ を $i$ と $i+1$ をともに $i$ に移す唯一の全射単調写像とする。$n\ge 1$ のとき、$x\in X_n$ が退化しているとは、ある $i$ とある $y\in X_{n-1}$ により $x=X({\sigma }_i)(y)$ と書けることをいい、退化していない単体を非退化単体という（$0$ 単体はすべて非退化とする）。

${\Delta }^2={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[2])$ を表現可能前層とし、積 $X={\Delta }^2\times {\Delta }^2$ を各次元ごとの直積 $X_n={\Delta }_n^2\times {\Delta }_n^2$（構造写像は成分ごと）で定める。

$X$ の非退化単体の個数を、すべての次元 $n\ge 0$ にわたって合計した値を求めよ。

$X=\{1,2,3\}$ とし、写像 $X\to X$ 全体のなす集合を $T_3$ とする。$T_3$ は写像の合成 $a\cdot b=a\circ b$ を積とし、恒等写像を単位元とするモノイドである（$|T_3|=27$）。

次のように圏 $\mathcal{K}$ を定める。
- 対象は、$T_3$ の冪等元、すなわち $e\circ e=e$ をみたす $e\in T_3$ である。
- 対象 $e$ から対象 $f$ への射は、$f\circ a\circ e=a$ をみたす $a\in T_3$ である（異なる対象の組に対する射は、同じ写像 $a$ であっても別の射として数える）。
- 射 $a:e\to f$ と $b:f\to g$ の合成は $b\circ a:e\to g$、対象 $e$ の恒等射は $e$ 自身である。

（これは $T_3$ の冪等元完備化（Karoubi 包絡）である。）圏 $\mathcal{K}$ の射の総数、すなわち
$$\sum _{e,f}|{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{K}}(e,f)|$$
（和は $\mathcal{K}$ の対象の順序対 $(e,f)$ 全体にわたる）を求めよ。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつものとし、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。モノイド準同型は単位元を単位元に移すものとする。

$M=(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},\cdot )$ を、$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の乗法による可換モノイドとする（単位元は $1$）。$M$ のモノイド環 $\mathbb{Z}[M]$ を次のように定める。$\mathbb{Z}[M]$ は $M$ の元 $[m](m\in M)$ を基底とする自由アーベル群であり、乗法は $[m][m^{\prime }]=[m{m}^{\prime }]$ を双線形に拡張したものである（単位元は $[1]$）。

環準同型 $\mathbb{Z}[M]\to \mathbb{Z}/360\mathbb{Z}$ の個数を求めよ。

群 $K$ に対し、$K$ が左から作用する集合（左 $K$ 集合）と $K$ 同変写像のなす圏を $K\text{-}\mathbf{Set}$ とする。

$G=S_4$ を $\{1,2,3,4\}$ の置換全体のなす対称群とし、$\sigma =(1234)$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。

左 $H$ 集合 $X=\{0,1,2,3\}\bigsqcup \{u,v\}\bigsqcup \{w\}$ を、$\sigma$ の作用
$$\sigma \cdot i=i+1(\mathrm{mod}4)(i\in \{0,1,2,3\}),\sigma \cdot u=v,\sigma \cdot v=u,\sigma \cdot w=w$$
で定める。$X$ の誘導 $G$ 集合を
$$G{\times }_{H}X=(G\times X)/\sim ,(gh,x)\sim (g,h\cdot x)(g\in G,h\in H,x\in X)$$
とし、$G$ は $g^{\prime }\cdot [g,x]=[g^{\prime }g,x]$ で作用させる。

また、$Y$ を $\{1,2,3,4\}$ の部分集合全体（$16$ 個）とし、$G$ を $g\cdot S=g(S)=\{g(s):s\in S\}$ で作用させた左 $G$ 集合とする。

$G$ 同変写像 $G{\times }_{H}X\to Y$ 全体の集合 ${\mathrm{Hom}}_{G\text{-}\mathbf{Set}}(G{\times }_{H}X,Y)$ の要素の個数を求めよ。

集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、関手 $F,G:\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。

- $F(X)$ は、$X$ の部分集合のうち要素の個数が $1$ または $2$ であるもの全体とし、写像 $f:X\to X^{\prime }$ に対して $F(f)(S)=f(S)=\{f(s):s\in S\}$ とする（$f(S)$ の要素の個数は $1$ または $2$ なので $F(f)(S)\in F(X^{\prime })$ である）。
- $\mathcal{P}(X)$ を $X$ の部分集合全体とし、$G(X)=\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$（$X$ の部分集合からなる集合族全体）とする。写像 $f:X\to X^{\prime }$ に対して
$$G(f)(\mathcal{A})=\{f(S):S\in \mathcal{A}\}(\mathcal{A}\in G(X))$$
とする。

自然変換 $F\Rightarrow G$ の個数を求めよ。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことで、$X_m=X([m])$ の元を $m$ 単体とよぶ。$m$ 単体 $x\in X_m$ が、ある全射な射 $\sigma :[m]\to [k]$（$k<m$）と $y\in X_k$ によって $x=X(\sigma )(y)$ と書けるとき $x$ は退化しているといい、そう書けないとき非退化であるという。

表現可能関手 $\Delta [n]={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[n])$ を標準 $n$ 単体とし、単体的集合の積は各次元ごとの直積 $(X\times Y{)}_m=X_m\times Y_m$ で定める。

積 $\Delta [2]\times \Delta [3]$ の非退化単体の総数（すべての次元 $m\ge 0$ にわたる非退化 $m$ 単体の個数の和）を求めよ。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

3 つの元 $a,b,c$ からなる集合に、$a\le c$, $b\le c$ と反射律だけで定まる半順序を入れた半順序集合を $\mathcal{P}$ とする（$a$ と $b$ は比較できない）。また $[2]=\{0,1,2\}$ を通常の大小関係 $0<1<2$ による全順序集合とし、これらを上のように圏とみなす。

関手 $\mathcal{P}\to [2]$ を対象とし、それらのあいだの自然変換を射とする関手圏 $[\mathcal{P},[2]]$ を考える。この関手圏の射（自然変換）の総数を求めよ。ただし恒等自然変換も射として数える。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。自然数全体 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）は加法によりモノイドをなすので、これを対象がただ 1 つ $\ast$ で、射が $\mathbb{N}$ の元、合成が加法、恒等射が $0$ である圏 $B\mathbb{N}$ とみなす。

$X=\{0,1,2,\dots ,90\}$ とし、写像 $g:X\to X$ を、$g(x)$ は $x^3$ を $91$ で割った余りとして定める。関手 $F:B\mathbb{N}\to \mathbf{FinSet}$ を
$$F(\ast )=X,F(n)=g^n(n\in \mathbb{N},g^0={\mathrm{id}}_X)$$
で定める。$F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$ の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

群 $K$ に対し、対象がただ $1$ つ $\ast$ で、射 $\ast \to \ast$ が $K$ の元、射の合成が $K$ の積、恒等射が単位元であるような圏を $\mathbf{B}K$ とする。

$V=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ とし、$D_4=⟨r,s\mid r^4=s^2=1,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$ を位数 $8$ の二面体群とする。関手 $\mathbf{B}V\to \mathbf{B}{D}_4$ を対象、それらの間の自然変換を射とする関手圏 $[\mathbf{B}V,\mathbf{B}{D}_4]$ を考える。

この関手圏の射の総数、すなわち関手の組 $(F,F^{\prime })$ すべてにわたる自然変換 $F\Rightarrow F^{\prime }$ の個数の和
$$\sum _{F,F^{\prime }}\#\mathrm{Nat}(F,F^{\prime })$$
を求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$Y=\{0,1,2,\dots ,69\}$ とし、写像 $f,g:Y\to Y$ を
$$f(y)=y,g(y)=(6y\text{ を }70\text{ で割った余り})$$
で定める。$\mathbf{FinSet}$ における平行な射の組 $f,g:Y\rightrightarrows Y$ の余等化子（コイコライザー）$q:Y\to Q$ を考える。集合 $Q$ の要素の個数を求めよ。

この問題で有向グラフ $X$ とは、頂点の集合 $X_V$、辺の集合 $X_E$、始点写像 $s_X:X_E\to X_V$、終点写像 $t_X:X_E\to X_V$ の組のことをいう（ループや多重辺を許す）。有向グラフの射 $\phi :X\to Y$ とは、写像の組 ${\phi }_V:X_V\to Y_V$, ${\phi }_E:X_E\to Y_E$ で $s_Y\circ {\phi }_E={\phi }_V\circ s_X$, $t_Y\circ {\phi }_E={\phi }_V\circ t_X$ を満たすものとする。有向グラフとその射のなす圏を $\mathbf{Grph}$ とする。$\mathbf{Grph}$ は、対象 $V,E$ と $2$ 本の射 $V\rightrightarrows E$ からなる小さい圏の上の前層の圏と同値であり、カルテシアン閉圏である。すなわち各対象 $Y$ について関手 $-\times Y$ は右随伴 $(-{)}^Y$ をもつ。