圏論の問題

$G$ を有限群（単位元 $e$）とし、$n$ を正の整数とする。有限集合 $X$ と左作用 $G\times X\to X,(g,x)\mapsto gx$ の組を有限左 $G$ 集合といい、有限左 $G$ 集合を対象、$G$ 同変写像（$t(gx)=gt(x)$ をみたす写像 $t$）を射とする圏を $\mathcal{C}$ とする。

忘却関手 $U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$（$G$ 集合をその台集合に、$G$ 同変写像を写像そのものに送る）と、関手 $U^n:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$ を
$$U^n(X)=X^n=\underset{n}{\underbrace{X\times \cdots \times X}},U^n(t)(x_1,\dots ,x_n)=(t(x_1),\dots ,t(x_n))$$
で定める。$U^n$ から $U$ への自然変換全体の集合を $\mathrm{Nat}(U^n,U)$ とするとき、
$$|\mathrm{Nat}(U^n,U)|=n|G|$$
であることを示せ。

ただし、次の米田の補題は用いてよい: 圏 $\mathcal{D}$ の対象 $A$ と関手 $F:\mathcal{D}\to \mathbf{Set}$ に対し、$\alpha \mapsto {\alpha }_A({\mathrm{id}}_A)$ は $\mathrm{Nat}({\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(A,-),F)$ から $F(A)$ への全単射である。

有限集合（空集合を含む）とその間のすべての写像からなる圏を $\mathbf{FinSet}$ とし、有限集合 $S$ の要素の個数を $|S|$ で表す。有限集合 $A,B$ と写像 $f,g:A\to B$ に対し、$q:B\to Q$ を $\mathbf{FinSet}$ における $f,g$ の余等化子とする。このとき
$$|Q|\ge |B|-|A|$$
が成り立つことを示せ。

ただし、次の事実は用いてよい: $B$ 上の関係 $\{(f(a),g(a))\mid a\in A\}$ を含む最小の同値関係を $\sim$ とするとき、商写像 $B\to B/\sim$ は $f,g$ の余等化子である。

群 $K$ に対し、対象がただ $1$ つ $\ast$ で、射 $\ast \to \ast$ が $K$ の元、射の合成が $K$ の積、恒等射が単位元であるような圏を $\mathbf{B}K$ とする。

$V=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ とし、$D_4=⟨r,s\mid r^4=s^2=1,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$ を位数 $8$ の二面体群とする。関手 $\mathbf{B}V\to \mathbf{B}{D}_4$ を対象、それらの間の自然変換を射とする関手圏 $[\mathbf{B}V,\mathbf{B}{D}_4]$ を考える。

この関手圏の射の総数、すなわち関手の組 $(F,F^{\prime })$ すべてにわたる自然変換 $F\Rightarrow F^{\prime }$ の個数の和
$$\sum _{F,F^{\prime }}\#\mathrm{Nat}(F,F^{\prime })$$
を求めよ。

$M$ をモノイド（積を $mn$、単位元を $e$ と書く）とする。集合 $A$ と写像 $M\times A\to A,(m,a)\mapsto m\cdot a$ の組で、すべての $m,n\in M,a\in A$ に対して $e\cdot a=a$ かつ $m\cdot (n\cdot a)=(mn)\cdot a$ を満たすものを左 $M$ 集合という。左 $M$ 集合を対象とし、$M$ 同変写像（$h(m\cdot a)=m\cdot h(a)$ を満たす写像 $h$）を射とする圏を $M\text{-}\mathbf{Set}$ とし、作用を忘れる関手を $U:M\text{-}\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ とする。

集合 $X$ に対し、$M$ から $X$ へのすべての写像の集合を $R(X)$ とし、$m\in M,f\in R(X)$ に対して $m\cdot f\in R(X)$ を
$$(m\cdot f)(n)=f(nm)(n\in M)$$
で定める。また、写像 $g:X\to Y$ に対し $R(g):R(X)\to R(Y)$ を $R(g)(f)=g\circ f$ で定める。

次を証明せよ: $R$ は関手 $\mathbf{Set}\to M\text{-}\mathbf{Set}$ を定め、左 $M$ 集合 $A$ と集合 $X$ に対して
$${\Phi }_{A,X}:{\mathrm{Hom}}_{M\text{-}\mathbf{Set}}(A,R(X))\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(U(A),X),{\Phi }_{A,X}(\phi )(a)=\phi (a)(e)$$
で定まる写像は全単射であり、$A$ と $X$ について自然である。すなわち $U$ は $R$ の左随伴である（$U⊣R$）。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。自然数全体 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）は加法によりモノイドをなすので、これを対象がただ 1 つ $\ast$ で、射が $\mathbb{N}$ の元、合成が加法、恒等射が $0$ である圏 $B\mathbb{N}$ とみなす。

$X=\{0,1,2,\dots ,90\}$ とし、写像 $g:X\to X$ を、$g(x)$ は $x^3$ を $91$ で割った余りとして定める。関手 $F:B\mathbb{N}\to \mathbf{FinSet}$ を
$$F(\ast )=X,F(n)=g^n(n\in \mathbb{N},g^0={\mathrm{id}}_X)$$
で定める。$F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$ の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。