有限集合の圏の極限

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=\{1,2,3,\dots ,20\}$, $B=\{0,1,2,3,4,5\}$ とし、写像 $f,g:A\to B$ を
$$f(a)=(a\text{ を }6\text{ で割った余り}),g(a)=(a\text{ を }4\text{ で割った余り})$$
で定める。$\mathbf{FinSet}$ における $f$ と $g$ の等化子を $e:E\to A$ とするとき、集合 $E$ の要素の個数 $|E|$ を求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=B=\{1,2,3,\dots ,10\}$、$C=\{0,1,2\}$ とし、写像 $f:A\to C$, $g:B\to C$ を
$$f(a)=(a\text{を}3\text{で割った余り}),g(b)=(b^2\text{を}3\text{で割った余り})$$
で定める。

$\mathbf{FinSet}$ における $f$ と $g$ の引き戻し（ファイバー積）を $P=A{\times }_{C}B$ とし、その射影を $p_1:P\to A$, $p_2:P\to B$ とする。さらに、スパン $A\stackrel{p_1}{\leftarrow }P\stackrel{p_2}{\to }B$ の $\mathbf{FinSet}$ における押し出しを $Q$ とする。

集合 $P$ の要素の個数と集合 $Q$ の要素の個数を、この順に組 $(|P|,|Q|)$ で答えよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。

圏 $\mathcal{J}$ を次のように定める。対象は $1,2,3$ の $3$ つである。恒等射以外の射は
$$\alpha :1\to 2,\beta :1\to 3,\gamma :3\to 2,\delta :1\to 2$$
の $4$ つだけであり（$\alpha \ne \delta$）、恒等射でない射どうしの合成は $\gamma \circ \beta =\delta$ だけが定義される。

$A=B=\{0,1,2,\dots ,20\}$、$C=\{0,1,\dots ,6\}$ とし、関手 $F:\mathcal{J}\to \mathbf{FinSet}$ を
$$F(1)=A,F(2)=B,F(3)=C,$$
$$F(\alpha )(x)=(x^2\text{ を }21\text{ で割った余り}),F(\beta )(x)=(x\text{ を }7\text{ で割った余り}),$$
$$F(\gamma )(z)=(3z\text{ を }21\text{ で割った余り}),F(\delta )=F(\gamma )\circ F(\beta )$$
で定める（$x\in A$, $z\in C$）。

$F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$（いずれも $\mathbf{FinSet}$ における）の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

集合 $X$ と二項演算 $X\times X\to X,(x,y)\mapsto x\ast y$ と元 $e\in X$ の組 $(X,\ast ,e)$ で、すべての $x,y\in X$ に対して $x\ast y=y\ast x$ かつ $e\ast x=x$ を満たすものを単位的可換マグマという（結合法則は仮定しない）。$(X,\ast ,e)$ から $(X^{\prime },{\ast }^{\prime },e^{\prime })$ への射を、$h(x\ast y)=h(x){\ast }^{\prime }h(y)$ と $h(e)=e^{\prime }$ を満たす写像 $h:X\to X^{\prime }$ とし、この圏を $\mathbf{CUMag}$ とする。

次の有限積スケッチ $\mathcal{S}$ を考える。
- グラフ: 頂点は $1,A,P$ の 3 つ。辺は
$$p_1,p_2:P\to A,m:P\to A,t:P\to P,u:1\to A,k:A\to 1,r:A\to P$$
の 7 本。
- 可換であるべき図式（道の等式。${\mathrm{id}}_A$ は長さ 0 の道）:
$$p_1\circ t=p_2,p_2\circ t=p_1,m\circ t=m,p_1\circ r={\mathrm{id}}_A,p_2\circ r=u\circ k,m\circ r={\mathrm{id}}_A.$$
- 錐: 頂点 $1$ をもつ空の図式上の錐 ${\lambda }_0$ と、頂点 $P$ をもち 2 つの頂点 $A,A$ からなる離散図式上の錐 ${\lambda }_2=(p_1,p_2)$ の 2 つ。

$\mathcal{S}$ の（集合の圏 $\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $v$ に集合 $M(v)$ を、各辺 $f:v\to w$ に写像 $M(f):M(v)\to M(w)$ を対応させたもので、上の 6 つの等式が写像の等式として成り立ち（${\mathrm{id}}_A$ は $M(A)$ の恒等写像と読む）、錐 ${\lambda }_0,{\lambda }_2$ を $\mathbf{Set}$ の極限錐に移すものとする。すなわち $M(1)$ は 1 点集合であり、写像 $c_M=(M(p_1),M(p_2)):M(P)\to M(A)\times M(A)$ は全単射である。モデル $M$ から $N$ への射とは、写像の族 ${\alpha }_v:M(v)\to N(v)(v=1,A,P)$ で、すべての辺 $f:v\to w$ に対して $N(f)\circ {\alpha }_v={\alpha }_w\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとの合成で定める。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

モデル $M$ に対して $M(1)=\{{\ast }_M\}$ とし、$M(A)$ 上の演算と元を
$$x\ast y=M(m)(c_M^{-1}(x,y)),e=M(u)({\ast }_M)$$
で定め、モデルの射 $\alpha$ に ${\alpha }_A$ を対応させる。この対応 $\Phi$ が関手 $\Phi :\mathbf{Mod}(\mathcal{S})\to \mathbf{CUMag}$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。

半順序集合 $(P,\le )$ は、対象を $P$ の元とし、$c\le d$ のときに限り $c$ から $d$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。

$P=\{a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2\}$ とする。$P$ 上の半順序 $\le$ は、反射律による $c\le c$ $(c\in P)$ と、次の $6$ つの関係だけからなるものとする。
$$a_0\le b_0,a_1\le b_0,a_1\le b_1,a_2\le b_1,a_2\le b_2,a_0\le b_2$$
（これら以外の異なる $2$ 元の間には順序関係はない。）

${\mathbb{F}}_{13}=\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ を $13$ 個の元からなる有限集合とみなす。関手 $F:P\to \mathbf{FinSet}$ を、すべての対象 $c\in P$ に対して $F(c)={\mathbb{F}}_{13}$ とし、恒等射を恒等写像に、恒等射以外の $6$ 本の射を次の写像に移すものとして定める（$x\in {\mathbb{F}}_{13}$ であり、べきは ${\mathbb{F}}_{13}$ の乗法で計算する）。
$$\begin{array}{rlrl}F(a_0\le b_0)& :x\mapsto x^2,& F(a_1\le b_0)& :x\mapsto x^3,\\ F(a_1\le b_1)& :x\mapsto x^4,& F(a_2\le b_1)& :x\mapsto x^2,\\ F(a_2\le b_2)& :x\mapsto x^3,& F(a_0\le b_2)& :x\mapsto x^4.\end{array}$$

$\mathbf{FinSet}$ における $F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$（いずれも同型を除いて一意に定まる有限集合）の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。自然数全体 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）は加法によりモノイドをなすので、これを対象がただ 1 つ $\ast$ で、射が $\mathbb{N}$ の元、合成が加法、恒等射が $0$ である圏 $B\mathbb{N}$ とみなす。

$X=\{0,1,2,\dots ,90\}$ とし、写像 $g:X\to X$ を、$g(x)$ は $x^3$ を $91$ で割った余りとして定める。関手 $F:B\mathbb{N}\to \mathbf{FinSet}$ を
$$F(\ast )=X,F(n)=g^n(n\in \mathbb{N},g^0={\mathrm{id}}_X)$$
で定める。$F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$ の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

この問題で有向グラフ $X$ とは、頂点の集合 $X_V$、辺の集合 $X_E$、始点写像 $s_X:X_E\to X_V$、終点写像 $t_X:X_E\to X_V$ の組のことをいう（ループや多重辺を許す）。有向グラフの射 $\phi :X\to Y$ とは、写像の組 ${\phi }_V:X_V\to Y_V$, ${\phi }_E:X_E\to Y_E$ で $s_Y\circ {\phi }_E={\phi }_V\circ s_X$, $t_Y\circ {\phi }_E={\phi }_V\circ t_X$ を満たすものとする。有向グラフとその射のなす圏を $\mathbf{Grph}$ とする。$\mathbf{Grph}$ は、対象 $V,E$ と $2$ 本の射 $V\rightrightarrows E$ からなる小さい圏の上の前層の圏と同値であり、カルテシアン閉圏である。すなわち各対象 $Y$ について関手 $-\times Y$ は右随伴 $(-{)}^Y$ をもつ。

次の $3$ つの有向グラフを考える。
- $P$: 頂点 $p_0,p_1$ と、辺 $p_0\to p_1$, $p_1\to p_0$ の $2$ 本からなる。
- $T$: 頂点 $q_0,q_1,q_2$ と、辺 $q_0\to q_1$, $q_1\to q_2$, $q_2\to q_0$ の $3$ 本からなる。
- $Z$: 頂点 $1,2,3$ と、辺 $1\to 1$（ループ）, $1\to 2$, $2\to 3$, $3\to 1$ の $4$ 本からなる。

ここで $a\to b$ は始点 $a$、終点 $b$ の辺を表す。指数対象 $Z^T$ をとるとき、hom 集合 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Grph}}(P,Z^T)$ の要素の個数を求めよ。

有限集合（空集合を含む）を対象とし、それらの間のすべての写像を射とする圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$1=\{\ast \}$ を 1 点集合とし、有限集合 $A$ の要素の個数を $|A|$ で表す。

関手 $F:\mathbf{FinSet}\to \mathbf{FinSet}$ が右随伴 $G:\mathbf{FinSet}\to \mathbf{FinSet}$ をもつ（$F⊣G$）とする。すなわち、すべての有限集合 $X,Y$ に対して、$X,Y$ について自然な全単射
$$\mathrm{Hom}(F(X),Y)\cong \mathrm{Hom}(X,G(Y))$$
が与えられているとする。

このとき、すべての有限集合 $X$ に対して
$$|F(X)|=|F(1)|\cdot |X|$$
が成り立つことを示せ。

集合 $X$ とその上の同値関係 $\sim$ の組 $(X,\sim )$ を対象とし、$(X,\sim )$ から $(X^{\prime },{\sim }^{\prime })$ への射を「$x\sim y$ ならば $h(x){\sim }^{\prime }h(y)$」を満たす写像 $h:X\to X^{\prime }$ とする圏を $\mathbf{Eq}$ とする。

この問題では、有限極限スケッチを次のように定める。グラフ $G$（頂点・辺と各辺の始点・終点）、$G$ の道の等式の集合、錐の集合の組であり、各錐は、頂点 $v$、$v$ を始点とする辺の有限列 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$（${\lambda }_j$ の終点を $w_j$ とする）、および「$f(y_j)=g(y_k)$」の形の制約（$y_j$ は $j$ 番目の脚 ${\lambda }_j$ に対応する変数、$f,g$ は $w_j,w_k$ をそれぞれ始点とし同じ終点をもつ辺）の有限集合からなる。

次のスケッチ $\mathcal{S}$ を考える。
- 頂点: $V,R,P,Q$。
- 辺（9 本）: $s,t:R\to V$、$\rho :V\to R$、$\sigma :R\to R$、${\pi }_1,{\pi }_2:P\to R$、$c:P\to R$、$q_1,q_2:Q\to R$。
- 道の等式（${\mathrm{id}}_V$ は長さ 0 の道）:
$$\begin{array}{rl}& (\mathrm{E}1)s\circ \rho ={\mathrm{id}}_V,(\mathrm{E}2)t\circ \rho ={\mathrm{id}}_V,(\mathrm{E}3)s\circ \sigma =t,(\mathrm{E}4)t\circ \sigma =s,\\ & (\mathrm{E}5)s\circ c=s\circ {\pi }_1,(\mathrm{E}6)t\circ c=t\circ {\pi }_2,(\mathrm{E}7)q_1=q_2.\end{array}$$
- 錐: $({\mathrm{L}}_P)$ 頂点 $P$、脚 ${\pi }_1,{\pi }_2$（この順に $y_1,y_2$ に対応する）、制約 $t(y_1)=s(y_2)$（$t$ と $s$ の引き戻し）。$({\mathrm{L}}_Q)$ 頂点 $Q$、脚 $q_1,q_2$（この順に $y_1,y_2$ に対応する）、制約 $s(y_1)=s(y_2)$ と $t(y_1)=t(y_2)$。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺 $f:w\to w^{\prime }$ に写像 $M(f):M(w)\to M(w^{\prime })$ を対応させたもので、(E1)〜(E7) が写像の等式として成り立ち（${\mathrm{id}}_V$ は恒等写像と読む）、各錐について、写像 $x\mapsto (M({\lambda }_1)(x),\dots ,M({\lambda }_n)(x))$ が $M(v)$ から
$${\Lambda }^M=\{(y_1,\dots ,y_n)\in M(w_1)\times \cdots \times M(w_n)\mid \text{すべての制約 }M(f)(y_j)=M(g)(y_k)\text{ が成り立つ}\}$$
への全単射であるものとする。$M(s),M(t)$ の組が単射であること（$M(R)$ を $M(V)\times M(V)$ の部分集合とみなせること）はモデルの条件に含めていないが、錐 $({\mathrm{L}}_Q)$ と (E7) から導かれる。モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)(w=V,R,P,Q)$ で、9 本の辺 $f:w\to w^{\prime }$ すべてについて $N(f)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとに行う。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

モデル $M$ に対し、$M(V)$ 上の関係 ${\sim }_M$ を「$x{\sim }_{M}y⟺M(s)(r)=x,M(t)(r)=y$ を満たす $r\in M(R)$ が存在する」で定め、$\Phi (M)=(M(V),{\sim }_M)$、モデルの射 $\alpha$ に対し $\Phi (\alpha )={\alpha }_V$ とおく。$\Phi$ が関手 $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})\to \mathbf{Eq}$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。

集合 $A,B$ と全射 $f:A\to B$ の組 $(A,B,f)$ を対象とし、$(A,B,f)$ から $(A^{\prime },B^{\prime },f^{\prime })$ への射を $f^{\prime }\circ u=v\circ f$ を満たす写像の組 $(u,v)$（$u:A\to A^{\prime },v:B\to B^{\prime }$）とし、合成を成分ごとに行う圏を $\mathbf{Surj}$ とする。

次のスケッチ $\mathcal{S}$ を考える。
- グラフ: 頂点は $A,B,K$、辺は $f:A\to B$、$k_1,k_2:K\to A$ の 3 本。
- 可換であるべき図式: なし。
- 錐 $(\mathrm{L})$（$f$ と $f$ の引き戻し）: 頂点 $K$、脚 $k_1,k_2$。
- 余錐 $(\mathrm{C})$（$k_1,k_2$ の余等化子）: 頂点 $B$、底の図式は平行な 2 辺 $k_1,k_2:K\to A$、脚は $f:A\to B$。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺に写像 $M(f):M(A)\to M(B)$、$M(k_1),M(k_2):M(K)\to M(A)$ を対応させたもので、次の 2 条件を満たすものとする。
- （錐の条件）写像 $x\mapsto (M(k_1)(x),M(k_2)(x))$ が、$M(K)$ から
$${\Lambda }^M=\{(a,a^{\prime })\in M(A)\times M(A)\mid M(f)(a)=M(f)(a^{\prime })\}$$
への全単射である。
- （余錐の条件）$M(f)\circ M(k_1)=M(f)\circ M(k_2)$ であり、さらに任意の集合 $Z$ と $g\circ M(k_1)=g\circ M(k_2)$ を満たす任意の写像 $g:M(A)\to Z$ に対して、$w\circ M(f)=g$ を満たす写像 $w:M(B)\to Z$ がただ 1 つ存在する。

$M(f)$ が全射であることはモデルの条件に含めていない（上の 2 条件から導かれることも、示すべきことの一部である）。

モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)(w=A,B,K)$ で、3 本の辺 $e:w\to w^{\prime }$ すべてについて $N(e)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(e)$ を満たすものとし、合成は成分ごとに行う。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

対応 $\Phi (M)=(M(A),M(B),M(f))$、$\Phi (\alpha )=({\alpha }_A,{\alpha }_B)$ が関手 $\Phi :\mathbf{Mod}(\mathcal{S})\to \mathbf{Surj}$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。