有限集合の圏の余極限

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。有限集合
$$A=\{1,2,3,4,5\},B=\{p,q,r,s,t\},C=\{u,v,w,z\}$$
（それぞれ書かれた元はすべて相異なる）と、写像 $f:A\to B$, $g:A\to C$ を次の表で定める。

$\mathbf{FinSet}$ における図式 $B\stackrel{f}{\leftarrow }A\stackrel{g}{\to }C$ の押し出し（プッシュアウト）を $B{\bigsqcup }_{A}C$ とする。集合 $B{\bigsqcup }_{A}C$ の要素の個数を求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=B=\{1,2,3,\dots ,10\}$、$C=\{0,1,2\}$ とし、写像 $f:A\to C$, $g:B\to C$ を
$$f(a)=(a\text{を}3\text{で割った余り}),g(b)=(b^2\text{を}3\text{で割った余り})$$
で定める。

$\mathbf{FinSet}$ における $f$ と $g$ の引き戻し（ファイバー積）を $P=A{\times }_{C}B$ とし、その射影を $p_1:P\to A$, $p_2:P\to B$ とする。さらに、スパン $A\stackrel{p_1}{\leftarrow }P\stackrel{p_2}{\to }B$ の $\mathbf{FinSet}$ における押し出しを $Q$ とする。

集合 $P$ の要素の個数と集合 $Q$ の要素の個数を、この順に組 $(|P|,|Q|)$ で答えよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=B=\{0,1,2,\dots ,11\}$ とし、写像 $f,g:A\to B$ を
$$f(x)=(x^2\text{ を }12\text{ で割った余り}),g(x)=(3x\text{ を }12\text{ で割った余り})$$
で定める。$\mathbf{FinSet}$ における平行な射の組 $f,g:A\rightrightarrows B$ の余等化子（コイコライザー）$q:B\to Q$ をとるとき、集合 $Q$ の要素の個数を求めよ。

有限集合（空集合を含む）とその間のすべての写像からなる圏を $\mathbf{FinSet}$ とし、有限集合 $S$ の要素の個数を $|S|$ で表す。有限集合 $A,B$ と写像 $f,g:A\to B$ に対し、$q:B\to Q$ を $\mathbf{FinSet}$ における $f,g$ の余等化子とする。このとき
$$|Q|\ge |B|-|A|$$
が成り立つことを示せ。

ただし、次の事実は用いてよい: $B$ 上の関係 $\{(f(a),g(a))\mid a\in A\}$ を含む最小の同値関係を $\sim$ とするとき、商写像 $B\to B/\sim$ は $f,g$ の余等化子である。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。

圏 $\mathcal{J}$ を次のように定める。対象は $1,2,3$ の $3$ つである。恒等射以外の射は
$$\alpha :1\to 2,\beta :1\to 3,\gamma :3\to 2,\delta :1\to 2$$
の $4$ つだけであり（$\alpha \ne \delta$）、恒等射でない射どうしの合成は $\gamma \circ \beta =\delta$ だけが定義される。

$A=B=\{0,1,2,\dots ,20\}$、$C=\{0,1,\dots ,6\}$ とし、関手 $F:\mathcal{J}\to \mathbf{FinSet}$ を
$$F(1)=A,F(2)=B,F(3)=C,$$
$$F(\alpha )(x)=(x^2\text{ を }21\text{ で割った余り}),F(\beta )(x)=(x\text{ を }7\text{ で割った余り}),$$
$$F(\gamma )(z)=(3z\text{ を }21\text{ で割った余り}),F(\delta )=F(\gamma )\circ F(\beta )$$
で定める（$x\in A$, $z\in C$）。

$F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$（いずれも $\mathbf{FinSet}$ における）の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

$B=\{0,1,2,\dots ,19\}$ を $20$ 個の元からなる有限集合とする。写像 $f,g:B\to B$ を、$x\in B$ に対して
$$f(x)=(2x\text{ を }20\text{ で割った余り}),g(x)=(3x\text{ を }20\text{ で割った余り})$$
で定める（値はいずれも $0$ 以上 $19$ 以下の整数で、$B$ の元である）。

有限集合を対象とし、写像を射とする圏 $\mathbf{FinSet}$ において、平行な射の組 $f,g:B\rightrightarrows B$ の余等化子 $q:B\to Q$ を考える。すなわち $q\circ f=q\circ g$ を満たし、$h\circ f=h\circ g$ を満たす任意の写像 $h:B\to C$（$C$ は有限集合）に対して $h=u\circ q$ となる写像 $u:Q\to C$ がただ 1 つ存在するような $q:B\to Q$ である。ここで $B$ は単なる有限集合として扱い、群や環などの代数的構造は考えない（余等化子は $\mathbf{FinSet}$ の中でとる）。余等化子は同型を除いて一意なので、$Q$ の元の個数は一意に決まる。$Q$ の元の個数を求めよ。

半順序集合 $(P,\le )$ は、対象を $P$ の元とし、$c\le d$ のときに限り $c$ から $d$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。

$P=\{a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2\}$ とする。$P$ 上の半順序 $\le$ は、反射律による $c\le c$ $(c\in P)$ と、次の $6$ つの関係だけからなるものとする。
$$a_0\le b_0,a_1\le b_0,a_1\le b_1,a_2\le b_1,a_2\le b_2,a_0\le b_2$$
（これら以外の異なる $2$ 元の間には順序関係はない。）

${\mathbb{F}}_{13}=\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ を $13$ 個の元からなる有限集合とみなす。関手 $F:P\to \mathbf{FinSet}$ を、すべての対象 $c\in P$ に対して $F(c)={\mathbb{F}}_{13}$ とし、恒等射を恒等写像に、恒等射以外の $6$ 本の射を次の写像に移すものとして定める（$x\in {\mathbb{F}}_{13}$ であり、べきは ${\mathbb{F}}_{13}$ の乗法で計算する）。
$$\begin{array}{rlrl}F(a_0\le b_0)& :x\mapsto x^2,& F(a_1\le b_0)& :x\mapsto x^3,\\ F(a_1\le b_1)& :x\mapsto x^4,& F(a_2\le b_1)& :x\mapsto x^2,\\ F(a_2\le b_2)& :x\mapsto x^3,& F(a_0\le b_2)& :x\mapsto x^4.\end{array}$$

$\mathbf{FinSet}$ における $F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$（いずれも同型を除いて一意に定まる有限集合）の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。自然数全体 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）は加法によりモノイドをなすので、これを対象がただ 1 つ $\ast$ で、射が $\mathbb{N}$ の元、合成が加法、恒等射が $0$ である圏 $B\mathbb{N}$ とみなす。

$X=\{0,1,2,\dots ,90\}$ とし、写像 $g:X\to X$ を、$g(x)$ は $x^3$ を $91$ で割った余りとして定める。関手 $F:B\mathbb{N}\to \mathbf{FinSet}$ を
$$F(\ast )=X,F(n)=g^n(n\in \mathbb{N},g^0={\mathrm{id}}_X)$$
で定める。$F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$ の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$Y=\{0,1,2,\dots ,69\}$ とし、写像 $f,g:Y\to Y$ を
$$f(y)=y,g(y)=(6y\text{ を }70\text{ で割った余り})$$
で定める。$\mathbf{FinSet}$ における平行な射の組 $f,g:Y\rightrightarrows Y$ の余等化子（コイコライザー）$q:Y\to Q$ を考える。集合 $Q$ の要素の個数を求めよ。

集合 $A,B$ と全射 $f:A\to B$ の組 $(A,B,f)$ を対象とし、$(A,B,f)$ から $(A^{\prime },B^{\prime },f^{\prime })$ への射を $f^{\prime }\circ u=v\circ f$ を満たす写像の組 $(u,v)$（$u:A\to A^{\prime },v:B\to B^{\prime }$）とし、合成を成分ごとに行う圏を $\mathbf{Surj}$ とする。

次のスケッチ $\mathcal{S}$ を考える。
- グラフ: 頂点は $A,B,K$、辺は $f:A\to B$、$k_1,k_2:K\to A$ の 3 本。
- 可換であるべき図式: なし。
- 錐 $(\mathrm{L})$（$f$ と $f$ の引き戻し）: 頂点 $K$、脚 $k_1,k_2$。
- 余錐 $(\mathrm{C})$（$k_1,k_2$ の余等化子）: 頂点 $B$、底の図式は平行な 2 辺 $k_1,k_2:K\to A$、脚は $f:A\to B$。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺に写像 $M(f):M(A)\to M(B)$、$M(k_1),M(k_2):M(K)\to M(A)$ を対応させたもので、次の 2 条件を満たすものとする。
- （錐の条件）写像 $x\mapsto (M(k_1)(x),M(k_2)(x))$ が、$M(K)$ から
$${\Lambda }^M=\{(a,a^{\prime })\in M(A)\times M(A)\mid M(f)(a)=M(f)(a^{\prime })\}$$
への全単射である。
- （余錐の条件）$M(f)\circ M(k_1)=M(f)\circ M(k_2)$ であり、さらに任意の集合 $Z$ と $g\circ M(k_1)=g\circ M(k_2)$ を満たす任意の写像 $g:M(A)\to Z$ に対して、$w\circ M(f)=g$ を満たす写像 $w:M(B)\to Z$ がただ 1 つ存在する。

$M(f)$ が全射であることはモデルの条件に含めていない（上の 2 条件から導かれることも、示すべきことの一部である）。

モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)(w=A,B,K)$ で、3 本の辺 $e:w\to w^{\prime }$ すべてについて $N(e)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(e)$ を満たすものとし、合成は成分ごとに行う。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

対応 $\Phi (M)=(M(A),M(B),M(f))$、$\Phi (\alpha )=({\alpha }_A,{\alpha }_B)$ が関手 $\Phi :\mathbf{Mod}(\mathcal{S})\to \mathbf{Surj}$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。