表現可能関手の商と自然変換

$Set$ 上の関手を表現可能関手の商（例: $X$ の 1 元または 2 元部分集合の関手 $= Hom ({1, 2}, -) / S_{2}$ ）として表し、米田の補題と余極限の普遍性から $Nat (F, G)$ を $G ({1, 2})$ の $S_{2}$ 不変元のように書き直して個数を求められる

前提

表現可能関手と米田の補題（大学院数学圏論）
有限集合の圏の余極限（大学院数学圏論）

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算数中学高校大学大学院

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有限集合の圏の余極限（大学院数学圏論）

説明

$Set$ 上の関手の中には、表現可能関手 $Hom ({1, 2}, -)$ のように米田の補題がそのまま使える関手だけでなく、それを対称性で割った「商」として表せる関手がたくさんあります。たとえば「 $X$ の 1 元または 2 元部分集合」を返す関手は、順序対 $(x, y)$ の入れ替えを同一視したものです。このように表すと、余極限（商）の普遍性と米田の補題を組み合わせて、自然変換 $F \Rightarrow G$ を集合 $G ({1, 2})$ の中の「入れ替えで動かない要素」として数えられます。

なぜそうしてよいのか

$2 = {1, 2}$ とおくと、 $Hom (2, X)$ は写像 $f : 2 \to X$ 、つまり順序対 $(f (1), f (2)) \in X^{2}$ の集合です。 $1$ と $2$ を入れ替える写像を $σ : 2 \to 2$ とすると、 $f \mapsto f \circ σ$ （ $(x, y) \mapsto (y, x)$ ）は $X$ について自然な変換 $σ^{*} : Hom (2, -) \Rightarrow Hom (2, -)$ になります（後ろから写像を合成する操作と、前から $σ$ を合成する操作は順序を入れ替えても同じだから）。各 $X$ で $1_{X^{2}}$ と $σ_{X}^{*}$ の余等化子をとると、 $(x, y) \sim (y, x)$ が生成する同値関係（この関係はすでに同値関係で、同値類は ${(x, y), (y, x)}$ ）による商になります。 $F (X) = {S \subseteq X : 1 \leq ∣ S ∣ \leq 2}$ 、 $F (f) (S) = f (S)$ （像）と定め、 $q_{X} (x, y) = {x, y}$ とすると、 $q_{X}$ は全射で、 ${x, y} = {x^{'}, y^{'}}$ となるのは $(x^{'}, y^{'})$ が $(x, y)$ か $(y, x)$ のときだけです（ $x = y$ なら 1 元集合 ${x}$ ）。よって $F (X)$ はちょうどこの商集合で、 $F ≅ Hom (2, -) / S_{2}$ と書けます。 $q$ が自然であることは $f ({x, y}) = {f (x), f (y)}$ からわかります。

次に $Nat (F, G)$ を考えます。自然変換 $β : F \Rightarrow G$ があれば $α = β \circ q : Hom (2, -) \Rightarrow G$ は $α \circ σ^{*} = α$ を満たします（ $q \circ σ^{*} = q$ だから）。逆に $α \circ σ^{*} = α$ を満たす $α$ は、各 $X$ で同値類の上で一定なので、商の普遍性によりただ 1 つの $β_{X} : F (X) \to G (X)$ で $α_{X} = β_{X} \circ q_{X}$ と書けます。 $β$ が自然であることは、 $q_{X}$ が全射なので $q_{X}$ の像の上で確かめればよく、それは $α$ と $q$ の自然性からしたがいます。したがって $Nat (F, G)$ は「 $α \circ σ^{*} = α$ を満たす $α : Hom (2, -) \Rightarrow G$ 」の集合と 1 対 1 に対応します。

最後に米田の補題で $α$ を要素 $g = α_{2} (1_{2}) \in G (2)$ に置き換えます。 $α_{X} (f) = G (f) (g)$ なので $(α \circ σ^{*})_{X} (f) = G (f \circ σ) (g) = G (f) (G (σ) (g))$ となり、 $α \circ σ^{*}$ に対応する要素は $G (σ) (g)$ です。米田の対応は全単射なので、 $α \circ σ^{*} = α$ は $G (σ) (g) = g$ と同値です。以上から
$Nat (F, G) ≅ G (2)^{S_{2}} = {g \in G (2) : G (σ) (g) = g}$
となり、自然変換の個数は $G (σ)$ で動かない $G (2)$ の要素の個数です。

手順

$F (X)$ の各要素を、表現可能関手 $Hom (2, X) = X^{2}$ の要素の像として書く全射 $q_{X}$ （例: $(x, y) \mapsto {x, y}$ ）を見つけ、 $q$ が自然であることを確かめる
$q_{X} (x, y) = q_{X} (x^{'}, y^{'})$ となる条件が、入れ替え $σ^{*} : (x, y) \mapsto (y, x)$ で移り合うことと一致するのを確かめ、 $F ≅ Hom (2, -) / S_{2}$ と表す
商の普遍性と米田の補題から $Nat (F, G) ≅ G (2)^{S_{2}} = {g \in G (2) : G (σ) (g) = g}$ と書き直す
$G (2)$ の要素をすべて書き出し、 $G (σ)$ （ $1 \leftrightarrow 2$ の入れ替えを $G$ で送ったもの）で動かない要素を数える

例題

$FinSet$ 上の関手 $F, P : FinSet \to FinSet$ を、 $F (X) = {S \subseteq X : 1 \leq ∣ S ∣ \leq 2}$ 、 $P (X) = {S \subseteq X}$ （ $X$ のすべての部分集合）とし、どちらも写像 $f : X \to Y$ には像をとる写像 $S \mapsto f (S)$ を対応させて定める。自然変換 $F \Rightarrow P$ の個数を求めよ。

例題の解答

手順 1・2: $2 = {1, 2}$ とし、 $q_{X} : Hom (2, X) = X^{2} \to F (X)$ を $q_{X} (x, y) = {x, y}$ で定める。 $q_{X}$ は全射で、 ${x, y} = {x^{'}, y^{'}}$ となるのは $(x^{'}, y^{'}) = (x, y)$ または $(y, x)$ のときだけなので、 $F ≅ Hom (2, -) / S_{2}$ （入れ替え $σ^{*}$ による商）である。 $f ({x, y}) = {f (x), f (y)}$ より $q$ は自然である。

手順 3: 商の普遍性と米田の補題より
$Nat (F, P) ≅ P (2)^{S_{2}} = {T \subseteq {1, 2} : σ (T) = T} .$
ここで $P (σ) (T) = σ (T)$ は $T$ の中の $1$ と $2$ を入れ替えた集合である。

手順 4: $P (2)$ の要素は $\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}$ の 4 個。 $σ$ で
- $\emptyset \mapsto \emptyset$ （動かない）
- ${1} \mapsto {2}$ , ${2} \mapsto {1}$ （動く）
- ${1, 2} \mapsto {1, 2}$ （動かない）

よって動かない要素は $\emptyset$ と ${1, 2}$ の 2 個で、自然変換 $F \Rightarrow P$ は $2$ 個である。（それぞれ $S \mapsto \emptyset$ と、包含 $S \mapsto S$ に対応する。）

答え: $2$

よくある誤り

$S_{2}$ 不変元をとらずに $∣ G (2) ∣$ をそのまま答えてしまう誤り。それは表現可能関手 $Hom (2, -)$ からの自然変換の個数で、例では $∣ P (2) ∣ = 4$ になるが、正しくは不変元の個数 $2$
$F$ の値 $F (2) = {{1}, {2}, {1, 2}}$ を使って米田の補題を当てはめてしまう誤り。 $F$ 自体は表現可能ではないので、 $Nat (F, G) ≅ G (2)$ や $∣ G (F (2)) ∣$ は成り立たない。正しくは $F$ を $Hom (2, -) / S_{2}$ と表し、終域 $G$ の側で $G (2)^{S_{2}}$ を数える
$G (σ)$ の作用を誤る誤り。例えば $G (X) = X^{2}$ （ $G (f) (a, b) = (f (a), f (b))$ ）のとき、 $G (σ)$ は各成分に $σ$ を施す $(a, b) \mapsto (σ (a), σ (b))$ である。この正しい作用では $σ$ に固定点がないので $G (2) = {1, 2}^{2}$ に不変元は存在せず、 $Nat (F, G)$ は $0$ 個（実際 ${x, y}$ から順序対を自然に選ぶことはできない）。誤って成分の入れ替え $(a, b) \mapsto (b, a)$ とすると、不変元 $(1, 1), (2, 2)$ が出て $2$ 個と誤答する
1 元部分集合を商の中で別扱いし、 $F (X)$ を 2 元部分集合だけからなるものと取り違える誤り。 $q_{X} (x, x) = {x}$ なので、 $x = y$ の対も含めた $X^{2}$ 全体の商が $F (X)$ である。2 元部分集合だけを返す対応は、 $f$ が 2 点を潰すと像が 1 元になるので、そもそも $FinSet$ 上の関手にならない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
集合と写像のなす圏を $Set$ とし、 $[3] = {1, 2, 3}$ とおく。関手 $F, G : Set \to Set$ を次で定める。
- $F (X)$ は、 $X^{3}$ に「 $(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \sim (x_{σ (1)}, x_{σ (2)}, x_{σ (3)})$ （ $σ$ は $[3]$ の置換）」という同値関係を入れた商集合 $X^{3} / \sim$ （ $X$ の元を重複を許して $3$ 個選んだ組の全体）とする。写像 $f : X \to Y$ に対して $F (f)$ は $[(x_{1}, x_{2}, x_{3})] \mapsto [(f (x_{1}), f (x_{2}), f (x_{3}))]$ とする。
- $G (X) = P (P (X))$ （ $X$ の部分集合からなる族の全体）とする。写像 $f : X \to Y$ に対して $G (f)$ は $A \mapsto {f (A) ∣ A \in A}$ とする。ここで $f (A) = {f (a) ∣ a \in A}$ である。
$F$ から $G$ への自然変換の個数を求めよ。

表現可能関手の商と自然変換

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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