圏論の問題

$2=\{0,1\}$ とし、表現可能関手 $h={\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(2,-)$ を考える。$h(X)$ の元は $X$ の元の組 $(a,b)$ と同一視できる（写像 $f_{a,b}:0\mapsto a,1\mapsto b$）。

$F$ を $h$ の商として表す　$q_X:h(X)\to F(X)$ を $q_X(a,b)=\{a,b\}$ で定めると、$q_X(f\circ f_{a,b})=\{f(a),f(b)\}=f(\{a,b\})$ より $q$ は自然変換で、各 $q_X$ は全射である。また $q_X(a,b)=q_X(a^{\prime },b^{\prime })$ となるのは $(a^{\prime },b^{\prime })=(a,b)$ または $(b,a)$ のときに限る。$\tau :2\to 2$ を $0,1$ の入れかえとすると $f_{b,a}=f_{a,b}\circ \tau$ である。

自然変換の言いかえ　自然変換 $\eta :F\Rightarrow G$ に $\theta =\eta \circ q:h\Rightarrow G$ を対応させる。各 $q_X$ が全射なので、この対応は単射である。$\theta$ がこの形に書けるための条件は、各 $X$ で ${\theta }_X(a,b)={\theta }_X(b,a)$ が成り立つことである（このとき ${\eta }_X(\{a,b\})={\theta }_X(a,b)$ で ${\eta }_X$ が well-defined に定まり、$q_X$ の全射性と $\theta$ の自然性から $\eta$ も自然になる）。

米田の補題により、自然変換 $\theta :h\Rightarrow G$ は $y={\theta }_2({\mathrm{id}}_2)\in G(2)$ と 1 対 1 に対応し、${\theta }_X(f_{a,b})=G(f_{a,b})(y)$ である。条件は
$$G(f_{a,b})(y)=G(f_{a,b}\circ \tau )(y)=G(f_{a,b})(G(\tau )(y))(\text{すべての }X,a,b)$$
で、$X=2$, $(a,b)=(0,1)$ とすれば $G(\tau )(y)=y$ が必要であり、逆に $G(\tau )(y)=y$ なら上の式は成り立つ。したがって
$$\#\{F\Rightarrow G\}=\#\{y\in G(2):G(\tau )(y)=y\}$$

固定点を数える　$\mathcal{P}(2)=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$ で、$\tau$ による像をとる操作 $S\mapsto \tau (S)$ は $\varnothing$ と $\{0,1\}$ を動かさず、$\{0\}$ と $\{1\}$ を入れかえる。よって $\mathcal{P}(2)$ はこの操作で 3 つの軌道
$$\{\varnothing \},\{\{0\},\{1\}\},\{\{0,1\}\}$$
に分かれる。$y=\mathcal{A}\in G(2)=\mathcal{P}(\mathcal{P}(2))$ が $G(\tau )(\mathcal{A})=\{\tau (S):S\in \mathcal{A}\}=\mathcal{A}$ を満たすのは、$\mathcal{A}$ がこれらの軌道のいくつかの和集合であるときに限る。その個数は $2^3=8$。

答え: $8$

$2=\{a,b\}$ とし、表現可能関手 $\mathrm{Hom}(2,-)=(-{)}^2$ を考える。$F(X)$ は $X$ の要素の個数 1 または 2 の部分集合全体であり、$(x,y)\mapsto \{x,y\}$ によって $F(X)\cong X^2/\sim$（$(x,y)\sim (y,x)$）と自然に同一視できる。すなわち $F$ は $\mathrm{Hom}(2,-)$ を入れ替え $\tau :a\leftrightarrow b$ による作用で割った商（余等化子）である。

米田の補題より $\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(2,-),G)\cong G(2)$（$\eta \mapsto {\eta }_2({\mathrm{id}}_2)$）。商 $F$ からの自然変換は、$\mathrm{Hom}(2,-)$ からの自然変換のうち $\tau$ で不変なもの、すなわち $G(\tau )(\alpha )=\alpha$ を満たす $\alpha \in G(2)$ と 1 対 1 に対応する。（逆に、そのような $\alpha$ に対し ${\eta }_X(\{x,y\})=G(h)(\alpha )$、$h(a)=x,h(b)=y$ と定めると、$\alpha$ の不変性により $x,y$ の順によらず定まり、自然である。）

$G(2)=\mathcal{P}(\mathcal{P}(2))$ で、$\mathcal{P}(2)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$。$\tau$ は $\{a\}\leftrightarrow \{b\}$ を入れ替え、$\varnothing ,\{a,b\}$ を固定する。$\tau$ で不変な集合族は、$\tau$ の軌道 $\{\varnothing \},\{\{a,b\}\},\{\{a\},\{b\}\}$ の和集合なので、$2^3=8$ 個。

検算：$\alpha =\{\{a\}\}$ は不変でない（$\tau$ で $\{\{b\}\}$ になる）ので除かれる。16 個のうち不変なものは $\varnothing$、$\{\varnothing \}$、$\{\{a,b\}\}$、$\{\{a\},\{b\}\}$ とそれらの和集合で合計 8 個。

よって自然変換の個数は 8。