圏論の問題

1. 米田の補題による言い換え。 $T=\{0,1,2\}$ とし、列 $(x_0,x_1,x_2)\in X^3$ を写像 $x:T\to X$（$x(i)=x_i$）と同一視する。$s:T\to T$ を $s(i)=i+1\mathrm{mod}3$ とすると、巡回シフトは $x\mapsto x\circ s$ である。よって $C_3(X)=\mathrm{Hom}(T,X)/⟨s⟩$ であり、$C_3(f)[x]=[f\circ x]$ となる。また $\iota ={\mathrm{id}}_T$ とすると、任意の $x:T\to X$ について $C_3(x)[\iota ]=[x]$ が成り立つ。

自然変換 $\eta :C_3\Rightarrow C_{12}$ が与えられたとき、$\xi ={\eta }_T([\iota ])\in C_{12}(T)$ とおく。
- 写像 $x:T\to X$ についての自然性から ${\eta }_X([x])={\eta }_X(C_3(x)[\iota ])=C_{12}(x)(\xi )$ が成り立つ。したがって $\eta$ は $\xi$ で決まる。
- $C_3(T)$ において $[\iota ]=[s]$ であり、$[s]=C_3(s)[\iota ]$ である。よって $\xi ={\eta }_T([s])=C_{12}(s)(\xi )$ となる。

逆に、$C_{12}(s)\xi =\xi$ を満たす $\xi$ に対して ${\eta }_X([x])=C_{12}(x)(\xi )$ と定めると、これは自然変換になる。
- 代表元によらない：$C_{12}(x\circ s)\xi =C_{12}(x)C_{12}(s)\xi =C_{12}(x)\xi$ である。
- 自然性：$f:X\to Y$ に対し $C_{12}(f)C_{12}(x)\xi =C_{12}(f\circ x)\xi$ である。

よって
$$\#\mathrm{Nat}(C_3,C_{12})=\#\{\xi \in C_{12}(T)\mid C_{12}(s)\xi =\xi \}.$$

2. 固定される首飾りを数える。 $C_{12}(T)$ の元は、塗り分け $c:\mathbb{Z}/12\to T$ を回転 ${\rho }^j$（$(c{\rho }^j)(i)=c(i+j)$）で同一視したものである。$C_{12}(s)[c]=[s\circ c]$ なので、$[c]$ が固定されるのは、ある $j$ について $s\circ c=c{\rho }^j$ となるときである。そこで
$$S_j=\{c\mid c(i+j)=s(c(i))(\forall i\in \mathbb{Z}/12)\},S=\bigcup _j{S}_j$$
とおく。求める個数は、$S$ を回転群 $⟨\rho ⟩$（位数 $12$）で割った軌道の個数である。

$c\in S$ について $J(c)=\{j\mid c\in S_j\}$ とおく。$s\circ c=c{\rho }^j$ のとき、$s\circ c=c{\rho }^k$ であることは $c{\rho }^{k-j}=c$ と同値である。よって $J(c)$ は $c$ の固定部分群 $\mathrm{Stab}(c)$ の剰余類で、$|J(c)|=|\mathrm{Stab}(c)|$ となる。軌道の長さは $12/|\mathrm{Stab}(c)|$ なので
$$\#(S/⟨\rho ⟩)=\sum _{c\in S}\frac{|\mathrm{Stab}(c)|}{12}=\frac{1}{12}\sum _{c\in S}|J(c)|=\frac{1}{12}\sum _{j=0}^{11}|S_j|.$$

3. $|S_j|$ の計算。 $d=\gcd (j,12)$ とすると、$i\mapsto i+j$ は $\mathbb{Z}/12$ を長さ $L=12/d$ の $d$ 個のサイクルに分ける。各サイクルでは、$1$ 点の色を決めると $c(i+tj)=s^t(c(i))$ により残りの色が決まる。一周して矛盾しない条件は $s^L=\mathrm{id}$、すなわち $3\mid L$ である。よって $3\mid L$ のとき $|S_j|=3^d$、そうでなければ $|S_j|=0$ である。
- $j=1,5,7,11$：$d=1,L=12$ なので、各 $3$ 個で計 $12$ 個
- $j=2,10$：$d=2,L=6$ なので、各 $9$ 個で計 $18$ 個
- $j=4,8$：$d=4,L=3$ なので、各 $81$ 個で計 $162$ 個
- $j=0,3,6,9$：$L=1,4,2,4$ で $3\nmid L$ なので $0$ 個

したがって
$$\#\mathrm{Nat}(C_3,C_{12})=\frac{12+18+162}{12}=\frac{192}{12}=16.$$

（検算：$C_3$ を $C_{12}(T)$ に色の置換として作用させたときのバーンサイドの補題でも、$|C_{12}(T)|=44368$、$C_3\times C_{12}$ の軌道数 $14800$ から、固定点の数は $(3\cdot 14800-44368)/2=16$ となり一致する。）

$C_n(X)=X^n/{\mathbb{Z}}_n$ は、表現可能関手 $\mathrm{Hom}(\mathbf{n},-)$ を ${\mathbb{Z}}_n$ の作用で割った商である（$\mathbf{n}=\{0,\dots ,n-1\}$）。米田の補題の商版により、$\mathrm{Nat}(C_3,F)$ は $F(3)$ の元のうち ${\mathbb{Z}}_3$ の作用で固定されるものと一対一に対応する。

ここでは $F=C_{12}$ なので、$3=\{0,1,2\}$ に巡回置換 $\sigma :0\to 1\to 2\to 0$ を取る。求める個数は、$\{0,1,2\}$ の元の長さ12の首飾り（巡回シフト同値類）$[w]$ のうち $[\sigma w]=[w]$ となるものの個数 $F$ である。

語 $w$ の最小周期を $d$（$d\mid 12$）とすると、同値類の大きさは $d$ で、$w$ は長さ $d$ の原始語 $u$ の繰り返しである。したがって $F={\sum }_{d\mid 12}P(d)$ と書ける。ここで $P(d)$ は、長さ $d$ の原始的な首飾りで $\sigma$ の作用で固定されるものの個数である。

$\sigma u=s^{j}u$（$s$ は巡回シフト）とする。${\sigma }^3=\mathrm{id}$ より $u=s^{3j}u$ となり、$u$ が原始的なので $d\mid 3j$ である。
- $j\equiv 0(\mathrm{mod}d)$ なら $\sigma u=u$ となるが、$\sigma$ は固定文字をもたないので不可能。
- よって $3\mid d$ で、$j\equiv \pm d/3$ となる。このとき $u=(a,{\sigma }^{c}a,{\sigma }^{2c}a)$（$a\in \{0,1,2{\}}^{d/3}$、$c=1,2$）の形である。$c=1,2$ の2つの族は互いに素である。

各族の長さ $d=3m$ の語は $3^m$ 個あり、最小周期 $3m^{\prime }$（$m^{\prime }\mid m$）の語の個数の和に等しい。原始語の個数を $W(3m)$ とすると、メビウス反転から $W(3m)={\sum }_{m^{\prime }\mid m}\mu (m/m^{\prime })3^{m^{\prime }}$ である。
- $W(3)=3$
- $W(6)=9-3=6$
- $W(12)=81-9=72$

首飾りの個数は、2つの族の合計を $d$ で割って $P(d)=2W(d)/d$ となる。
- $P(3)=2$
- $P(6)=2$
- $P(12)=12$

よって $F=2+2+12=16$。

検算: $d=3$ では $[0,1,2]$ と $[0,2,1]$ の2個が該当し、$P(3)=2$ と一致する。