圏論の問題

有限集合（空集合を含む）を対象とし、それらの間のすべての写像を射とする圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$1=\{\ast \}$ を 1 点集合とし、有限集合 $A$ の要素の個数を $|A|$ で表す。

関手 $F:\mathbf{FinSet}\to \mathbf{FinSet}$ が右随伴 $G:\mathbf{FinSet}\to \mathbf{FinSet}$ をもつ（$F⊣G$）とする。すなわち、すべての有限集合 $X,Y$ に対して、$X,Y$ について自然な全単射
$$\mathrm{Hom}(F(X),Y)\cong \mathrm{Hom}(X,G(Y))$$
が与えられているとする。

このとき、すべての有限集合 $X$ に対して
$$|F(X)|=|F(1)|\cdot |X|$$
が成り立つことを示せ。

$M$ をモノイド（積を $mn$、単位元を $e$ と書く）とする。集合 $A$ と写像 $M\times A\to A,(m,a)\mapsto m\cdot a$ の組で、すべての $m,n\in M,a\in A$ に対して $e\cdot a=a$ かつ $m\cdot (n\cdot a)=(mn)\cdot a$ を満たすものを左 $M$ 集合という。左 $M$ 集合を対象とし、$M$ 同変写像（$h(m\cdot a)=m\cdot h(a)$ を満たす写像 $h$）を射とする圏を $M\text{-}\mathbf{Set}$ とし、作用を忘れる関手を $U:M\text{-}\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ とする。

集合 $X$ に対し、$M$ から $X$ へのすべての写像の集合を $R(X)$ とし、$m\in M,f\in R(X)$ に対して $m\cdot f\in R(X)$ を
$$(m\cdot f)(n)=f(nm)(n\in M)$$
で定める。また、写像 $g:X\to Y$ に対し $R(g):R(X)\to R(Y)$ を $R(g)(f)=g\circ f$ で定める。

次を証明せよ: $R$ は関手 $\mathbf{Set}\to M\text{-}\mathbf{Set}$ を定め、左 $M$ 集合 $A$ と集合 $X$ に対して
$${\Phi }_{A,X}:{\mathrm{Hom}}_{M\text{-}\mathbf{Set}}(A,R(X))\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(U(A),X),{\Phi }_{A,X}(\phi )(a)=\phi (a)(e)$$
で定まる写像は全単射であり、$A$ と $X$ について自然である。すなわち $U$ は $R$ の左随伴である（$U⊣R$）。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。自然数全体 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）は加法によりモノイドをなすので、これを対象がただ 1 つ $\ast$ で、射が $\mathbb{N}$ の元、合成が加法、恒等射が $0$ である圏 $B\mathbb{N}$ とみなす。

$X=\{0,1,2,\dots ,90\}$ とし、写像 $g:X\to X$ を、$g(x)$ は $x^3$ を $91$ で割った余りとして定める。関手 $F:B\mathbb{N}\to \mathbf{FinSet}$ を
$$F(\ast )=X,F(n)=g^n(n\in \mathbb{N},g^0={\mathrm{id}}_X)$$
で定める。$F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$ の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

群 $K$ に対し、$K$ が左から作用する集合（左 $K$ 集合）と $K$ 同変写像のなす圏を $K\text{-}\mathbf{Set}$ とする。

$G=S_4$ を $\{1,2,3,4\}$ の置換全体のなす対称群とし、$\sigma =(1234)$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。

左 $H$ 集合 $X=\{0,1,2,3\}\bigsqcup \{u,v\}\bigsqcup \{w\}$ を、$\sigma$ の作用
$$\sigma \cdot i=i+1(\mathrm{mod}4)(i\in \{0,1,2,3\}),\sigma \cdot u=v,\sigma \cdot v=u,\sigma \cdot w=w$$
で定める。$X$ の誘導 $G$ 集合を
$$G{\times }_{H}X=(G\times X)/\sim ,(gh,x)\sim (g,h\cdot x)(g\in G,h\in H,x\in X)$$
とし、$G$ は $g^{\prime }\cdot [g,x]=[g^{\prime }g,x]$ で作用させる。

また、$Y$ を $\{1,2,3,4\}$ の部分集合全体（$16$ 個）とし、$G$ を $g\cdot S=g(S)=\{g(s):s\in S\}$ で作用させた左 $G$ 集合とする。

$G$ 同変写像 $G{\times }_{H}X\to Y$ 全体の集合 ${\mathrm{Hom}}_{G\text{-}\mathbf{Set}}(G{\times }_{H}X,Y)$ の要素の個数を求めよ。

集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、関手 $F,G:\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。

- $F(X)$ は、$X$ の部分集合のうち要素の個数が $1$ または $2$ であるもの全体とし、写像 $f:X\to X^{\prime }$ に対して $F(f)(S)=f(S)=\{f(s):s\in S\}$ とする（$f(S)$ の要素の個数は $1$ または $2$ なので $F(f)(S)\in F(X^{\prime })$ である）。
- $\mathcal{P}(X)$ を $X$ の部分集合全体とし、$G(X)=\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$（$X$ の部分集合からなる集合族全体）とする。写像 $f:X\to X^{\prime }$ に対して
$$G(f)(\mathcal{A})=\{f(S):S\in \mathcal{A}\}(\mathcal{A}\in G(X))$$
とする。

自然変換 $F\Rightarrow G$ の個数を求めよ。