自然変換と関手圏

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

$2=\{0,1\}$（$0<1$）と $4=\{0,1,2,3\}$（$0<1<2<3$）を通常の大小関係による全順序集合とし、上のようにして圏とみなす。関手圏 $[2,4]$ を、対象が関手 $2\to 4$、射が関手の間の自然変換、合成が自然変換の各成分ごとの合成である圏とする。

関手圏 $[2,4]$ の射の総数（恒等自然変換も含める）を求めよ。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

$P=\{0,1,2\}$ を通常の順序 $0<1<2$ で全順序集合とみなした圏とする。関手 $F:P\to P$ を対象とし、関手の間の自然変換を射とする関手圏を $[P,P]$ とする。

関手圏 $[P,P]$ の射（自然変換）の総数を求めよ。ただし、すべての対象の組 $(F,G)$ についての $F$ から $G$ への自然変換を合計し、恒等自然変換も数に含める。

対象が $V,E$ の $2$ つで、恒等射以外の射が $s,t:V\to E$ の $2$ つだけである圏を $\mathcal{C}$ とする（恒等射でない射どうしの合成は存在しない）。関手 $X:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ を前層とよび、$X(V)$ を頂点の集合、$X(E)$ を辺の集合、辺 $x\in X(E)$ に対して $X(s)(x)$ をその始点、$X(t)(x)$ をその終点と考える（有向グラフ）。

前層 $P$ を
$$P(V)=\{0,1,2,3\},P(E)=\{a_1,a_2,a_3\},P(s)(a_i)=i-1,P(t)(a_i)=i(i=1,2,3)$$
で定め、前層 $H$ を
$$H(V)=\{1,2,3\},H(E)=\{e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6\}$$
とし、各辺の始点と終点を
$$e_1:1\to 2,e_2:1\to 2,e_3:2\to 3,e_4:3\to 1,e_5:2\to 2,e_6:3\to 3$$
で定める（$e_k:u\to v$ は $H(s)(e_k)=u$, $H(t)(e_k)=v$ を表す）。

自然変換 $P\Rightarrow H$ の個数を求めよ。

$M$ をモノイド（積を $mn$、単位元を $e$ と書く）とする。集合 $A$ と写像 $M\times A\to A,(m,a)\mapsto m\cdot a$ の組で、すべての $m,n\in M,a\in A$ に対して $e\cdot a=a$ かつ $m\cdot (n\cdot a)=(mn)\cdot a$ を満たすものを左 $M$ 集合という。左 $M$ 集合を対象とし、$M$ 同変写像（$h(m\cdot a)=m\cdot h(a)$ を満たす写像 $h$）を射とする圏を $M\text{-}\mathbf{Set}$ とし、作用を忘れる関手を $U:M\text{-}\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ とする。

集合 $X$ に対し、$M$ から $X$ へのすべての写像の集合を $R(X)$ とし、$m\in M,f\in R(X)$ に対して $m\cdot f\in R(X)$ を
$$(m\cdot f)(n)=f(nm)(n\in M)$$
で定める。また、写像 $g:X\to Y$ に対し $R(g):R(X)\to R(Y)$ を $R(g)(f)=g\circ f$ で定める。

次を証明せよ: $R$ は関手 $\mathbf{Set}\to M\text{-}\mathbf{Set}$ を定め、左 $M$ 集合 $A$ と集合 $X$ に対して
$${\Phi }_{A,X}:{\mathrm{Hom}}_{M\text{-}\mathbf{Set}}(A,R(X))\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(U(A),X),{\Phi }_{A,X}(\phi )(a)=\phi (a)(e)$$
で定まる写像は全単射であり、$A$ と $X$ について自然である。すなわち $U$ は $R$ の左随伴である（$U⊣R$）。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。関手 $F:\mathbf{FinSet}\to \mathbf{FinSet}$ を次のように定める。

• 有限集合 $X$ に対して $F(X)=X^4=X\times X\times X\times X$
• 写像 $f:X\to Y$ に対して $F(f)(x_1,x_2,x_3,x_4)=(f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4))$

自然変換 $\eta :F\Rightarrow F$ のうち、自分自身との垂直合成について $\eta \circ \eta =\eta$ を満たすものの個数を求めよ。ここで $\eta \circ \eta =\eta$ とは、すべての有限集合 $X$ について ${\eta }_X\circ {\eta }_X={\eta }_X$ が成り立つことをいう。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

3 つの元 $a,b,c$ からなる集合に、$a\le c$, $b\le c$ と反射律だけで定まる半順序を入れた半順序集合を $\mathcal{P}$ とする（$a$ と $b$ は比較できない）。また $[2]=\{0,1,2\}$ を通常の大小関係 $0<1<2$ による全順序集合とし、これらを上のように圏とみなす。

関手 $\mathcal{P}\to [2]$ を対象とし、それらのあいだの自然変換を射とする関手圏 $[\mathcal{P},[2]]$ を考える。この関手圏の射（自然変換）の総数を求めよ。ただし恒等自然変換も射として数える。

群 $K$ に対し、対象がただ $1$ つ $\ast$ で、射 $\ast \to \ast$ が $K$ の元、射の合成が $K$ の積、恒等射が単位元であるような圏を $\mathbf{B}K$ とする。

$V=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ とし、$D_4=⟨r,s\mid r^4=s^2=1,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$ を位数 $8$ の二面体群とする。関手 $\mathbf{B}V\to \mathbf{B}{D}_4$ を対象、それらの間の自然変換を射とする関手圏 $[\mathbf{B}V,\mathbf{B}{D}_4]$ を考える。

この関手圏の射の総数、すなわち関手の組 $(F,F^{\prime })$ すべてにわたる自然変換 $F\Rightarrow F^{\prime }$ の個数の和
$$\sum _{F,F^{\prime }}\#\mathrm{Nat}(F,F^{\prime })$$
を求めよ。

$G$ を有限群（単位元 $e$）とし、$n$ を正の整数とする。有限集合 $X$ と左作用 $G\times X\to X,(g,x)\mapsto gx$ の組を有限左 $G$ 集合といい、有限左 $G$ 集合を対象、$G$ 同変写像（$t(gx)=gt(x)$ をみたす写像 $t$）を射とする圏を $\mathcal{C}$ とする。

忘却関手 $U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$（$G$ 集合をその台集合に、$G$ 同変写像を写像そのものに送る）と、関手 $U^n:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$ を
$$U^n(X)=X^n=\underset{n}{\underbrace{X\times \cdots \times X}},U^n(t)(x_1,\dots ,x_n)=(t(x_1),\dots ,t(x_n))$$
で定める。$U^n$ から $U$ への自然変換全体の集合を $\mathrm{Nat}(U^n,U)$ とするとき、
$$|\mathrm{Nat}(U^n,U)|=n|G|$$
であることを示せ。

ただし、次の米田の補題は用いてよい: 圏 $\mathcal{D}$ の対象 $A$ と関手 $F:\mathcal{D}\to \mathbf{Set}$ に対し、$\alpha \mapsto {\alpha }_A({\mathrm{id}}_A)$ は $\mathrm{Nat}({\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(A,-),F)$ から $F(A)$ への全単射である。