随伴と hom 集合の数え上げ

群と群準同型のなす圏を $\mathbf{Grp}$、集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、群をその台集合に送る忘却関手を $U:\mathbf{Grp}\to \mathbf{Set}$ とする。$U$ は左随伴 $F:\mathbf{Set}\to \mathbf{Grp}$ をもち、集合 $X$ に対して $F(X)$ は $X$ 上の自由群である。すなわち、集合 $X$ と群 $H$ に対して、自然な全単射
$${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Grp}}(F(X),H)\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(X,U(H))$$
がある。

$X=\{x,y,z\}$ を $3$ 個の元からなる集合とし、$S_3$ を $\{1,2,3\}$ の置換全体のなす対称群とする。群準同型 $F(X)\to S_3$ の個数を求めよ。

モノイドとは単位元をもつ半群のことであり、モノイド準同型は積と単位元を保つ写像とする。モノイドとモノイド準同型のなす圏を $\mathbf{Mon}$、集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、忘却関手 $U:\mathbf{Mon}\to \mathbf{Set}$ の左随伴（自由モノイド関手）を $F:\mathbf{Set}\to \mathbf{Mon}$ とする。

$T_3$ を集合 $\{1,2,3\}$ からそれ自身への写像全体が写像の合成を積、恒等写像を単位元としてなすモノイドとし、$X=\{a,b\}$ とする。hom 集合 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Mon}}(F(X),T_3)$ の元の個数を求めよ。

群と群準同型のなす圏を $\mathbf{Grp}$、アーベル群と群準同型のなす圏を $\mathbf{Ab}$ とする。包含関手 $\iota :\mathbf{Ab}\to \mathbf{Grp}$ は左随伴 $(-{)}^{\mathrm{ab}}:\mathbf{Grp}\to \mathbf{Ab}$, $H\mapsto H^{\mathrm{ab}}=H/[H,H]$（アーベル化）をもつ。

$S_4$ を $4$ 次対称群、$Q_8=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ を位数 $8$ の四元数群とし、群
$$G=S_4\times Q_8\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$$
を考える。また、アーベル群
$$A=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$$
を考える。hom 集合 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Grp}}(G,\iota A)$、すなわち $G$ から $A$ への群準同型全体の集合の要素の個数を求めよ。

$M$ をモノイド（積を $mn$、単位元を $e$ と書く）とする。集合 $A$ と写像 $M\times A\to A,(m,a)\mapsto m\cdot a$ の組で、すべての $m,n\in M,a\in A$ に対して $e\cdot a=a$ かつ $m\cdot (n\cdot a)=(mn)\cdot a$ を満たすものを左 $M$ 集合という。左 $M$ 集合を対象とし、$M$ 同変写像（$h(m\cdot a)=m\cdot h(a)$ を満たす写像 $h$）を射とする圏を $M\text{-}\mathbf{Set}$ とし、作用を忘れる関手を $U:M\text{-}\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ とする。

集合 $X$ に対し、$M$ から $X$ へのすべての写像の集合を $R(X)$ とし、$m\in M,f\in R(X)$ に対して $m\cdot f\in R(X)$ を
$$(m\cdot f)(n)=f(nm)(n\in M)$$
で定める。また、写像 $g:X\to Y$ に対し $R(g):R(X)\to R(Y)$ を $R(g)(f)=g\circ f$ で定める。

次を証明せよ: $R$ は関手 $\mathbf{Set}\to M\text{-}\mathbf{Set}$ を定め、左 $M$ 集合 $A$ と集合 $X$ に対して
$${\Phi }_{A,X}:{\mathrm{Hom}}_{M\text{-}\mathbf{Set}}(A,R(X))\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(U(A),X),{\Phi }_{A,X}(\phi )(a)=\phi (a)(e)$$
で定まる写像は全単射であり、$A$ と $X$ について自然である。すなわち $U$ は $R$ の左随伴である（$U⊣R$）。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環準同型は $1$ を $1$ に写すものとする。また、モノイドは単位元をもち、モノイド準同型は単位元を単位元に写すものとする。

$M$ を、剰余環 $\mathbb{Z}/504\mathbb{Z}$ の乗法だけに注目して得られる可換モノイド $(\mathbb{Z}/504\mathbb{Z},\cdot )$ とする（単位元は $1$ の類）。$M$ のモノイド環 $\mathbb{Z}[M]$ を次で定める。$\mathbb{Z}[M]$ は $M$ の各元 $m$ に対応する記号 $[m]$ 全体を基底とする自由 $\mathbb{Z}$ 加群で、積は
$$[m][m^{\prime }]=[m{m}^{\prime }](m,m^{\prime }\in M)$$
を双線形に拡張して定める（単位元は $[1]$ である。なお、$0\in M$ に対応する基底元 $[0]$ は $\mathbb{Z}[M]$ の零元ではない）。

$13$ 個の元からなる有限体を ${\mathbb{F}}_{13}$ とする。環準同型 $\mathbb{Z}[M]\to {\mathbb{F}}_{13}$ の個数を求めよ。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつものとし、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。モノイド準同型は単位元を単位元に移すものとする。

$M=(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},\cdot )$ を、$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の乗法による可換モノイドとする（単位元は $1$）。$M$ のモノイド環 $\mathbb{Z}[M]$ を次のように定める。$\mathbb{Z}[M]$ は $M$ の元 $[m](m\in M)$ を基底とする自由アーベル群であり、乗法は $[m][m^{\prime }]=[m{m}^{\prime }]$ を双線形に拡張したものである（単位元は $[1]$）。

環準同型 $\mathbb{Z}[M]\to \mathbb{Z}/360\mathbb{Z}$ の個数を求めよ。

有限集合（空集合を含む）を対象とし、それらの間のすべての写像を射とする圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$1=\{\ast \}$ を 1 点集合とし、有限集合 $A$ の要素の個数を $|A|$ で表す。

関手 $F:\mathbf{FinSet}\to \mathbf{FinSet}$ が右随伴 $G:\mathbf{FinSet}\to \mathbf{FinSet}$ をもつ（$F⊣G$）とする。すなわち、すべての有限集合 $X,Y$ に対して、$X,Y$ について自然な全単射
$$\mathrm{Hom}(F(X),Y)\cong \mathrm{Hom}(X,G(Y))$$
が与えられているとする。

このとき、すべての有限集合 $X$ に対して
$$|F(X)|=|F(1)|\cdot |X|$$
が成り立つことを示せ。