圏論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学圏論

この問題では、環は単位元 $1$ をもつものとし、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。モノイド準同型は単位元を単位元に移すものとする。

$M = (Z /12 Z, \cdot)$ を、 $Z /12 Z$ の乗法による可換モノイドとする（単位元は $1$ ）。 $M$ のモノイド環 $Z [M]$ を次のように定める。 $Z [M]$ は $M$ の元 $[m] (m \in M)$ を基底とする自由アーベル群であり、乗法は $[m] [m^{'}] = [m m^{'}]$ を双線形に拡張したものである（単位元は $[1]$ ）。

環準同型 $Z [M] \to Z /360 Z$ の個数を求めよ。

この問題で使うもの

随伴と hom 集合の数え上げ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（10 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

モノイド環 $Z [M]$ は、環からその乗法モノイドへの忘却関手の左随伴である。環準同型の個数をモノイド準同型 $(Z /12, \cdot) \to (Z /360, \cdot)$ の個数に言い換えよう。

ヒント 2

中国剰余定理で両側を素冪に分解する。可換モノイドの圏では有限積が余積でもあるので、 $Hom$ は始域・終域の両方で積に分かれる。局所環 $Z / p^{k}$ の冪等元は $0, 1$ だけである。

ヒント 3

$(Z /3, \cdot)$ からの準同型は $u^{2} = 1$ , $e^{2} = e$ , $e u = e$ で決まり、個数は $# {u^{2} = 1} + 1$ である。 $(Z /4, \cdot)$ からの準同型は $u^{2} = 1$ , $w u = w$ , $w^{3} = w^{2}$ で決まり、局所環では $w = 1$ または $w^{2} = 0$ となる。 $Z /8$ では $9$ 個になる。

答えと解説

答えを見る

6075

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

1. 随伴による言い換え. 環 $R$ にその乗法モノイド $(R, \cdot)$ を対応させる忘却関手 $U : Ring \to Mon$ に対し、モノイド環をとる関手 $M \mapsto Z [M]$ は左随伴である。実際、環準同型 $φ : Z [M] \to R$ に $m \mapsto φ ([m])$ を対応させると、 $[m]$ が加法群の基底で $[m] [m^{'}] = [m m^{'}]$ , $[1]$ が単位元であることから、これはモノイド準同型全体との全単射
$Hom_{Ring} (Z [M], R) ≅ Hom_{Mon} (M, (R, \cdot))$
を与える（逆は $f$ を $Z$ 線形に拡張する）。よって求める個数は、モノイド準同型 $(Z /12, \cdot) \to (Z /360, \cdot)$ の個数である。

2. 分解. 中国剰余定理により環同型 $Z /360 ≅ Z /8 \times Z /9 \times Z /5$ 、 $Z /12 ≅ Z /4 \times Z /3$ があり、乗法モノイドとしても同型である。
- 積への準同型は成分ごとの準同型の組と 1 対 1 に対応する（積の普遍性）。
- 可換モノイドの圏では有限積は余積でもある：可換モノイド $T$ への準同型 $f : M_{1} \times M_{2} \to T$ は $(f (\cdot, 1), f (1, \cdot))$ と対応し、逆に $(g, h)$ から $(m_{1}, m_{2}) \mapsto g (m_{1}) h (m_{2})$ が準同型になる（ $T$ が可換だから）。

したがって、 $A$ を $Z /8, Z /9, Z /5$ として、
$N = A \prod Hom ((Z /4, \cdot), A) \cdot Hom ((Z /3, \cdot), A) .$
これらの $A$ は局所環なので、冪等元は $0, 1$ のみであり、非単元 $a$ に対し $a - 1$ は単元である。 $s_{A} = # {u \in A : u^{2} = 1}$ とおく。

3. $(Z /3, \cdot) = {0, 1, 2}$ からの準同型. $2^{2} = 1$ 、 $0$ は吸収元である。よって $f (2) = u$ , $f (0) = e$ に対する条件は $u^{2} = 1$ , $e^{2} = e$ , $e u = e$ である。 $e = 0$ なら $u$ は任意、 $e = 1$ なら $u = 1$ なので、個数は $s_{A} + 1$ 。
- $Z /8$ ： $u \in {1, 3, 5, 7}$ で $s = 4$ なので $5$ 個
- $Z /9$ ： $u \in {1, 8}$ なので $3$ 個
- $Z /5$ ： $u \in {1, 4}$ なので $3$ 個

4. $(Z /4, \cdot) = {0, 1, 2, 3}$ からの準同型. $3^{2} = 1$ , $2 \cdot 3 = 2$ , $2^{2} = 0$ であり、 $0$ は吸収元である。 $f (3) = u$ , $f (2) = w$ とおくと $f (0) = w^{2}$ である。積の表をすべて確かめると、条件は
$u^{2} = 1, w u = w, w^{3} = w^{2}$
に同値である（ $w^{2} u = w \cdot w u = w^{2}$ 、 $w^{4} = w^{2}$ などはこれらから従う）。

$w^{2} (w - 1) = 0$ について場合を分ける。
- $w$ が単元のとき： $w = 1$ となり、 $w u = w$ から $u = 1$ なので $1$ 個。
- $w$ が非単元のとき： $w - 1$ が単元なので $w^{2} = 0$ となり、条件は $u^{2} = 1$ , $w (u - 1) = 0$ である。

各環で数えると次のとおり。
- $Z /8$ ： $w^{2} = 0$ となるのは $w \in {0, 4}$ である。 $w = 0$ のとき $u$ は $4$ 通り。 $w = 4$ のとき、 $u$ は奇数なので $4 (u - 1) \equiv 0$ が常に成り立ち $4$ 通り。合計 $1 + 8 = 9$ 個。
- $Z /9$ ： $w^{2} = 0$ となるのは $w \in {0, 3, 6}$ である。 $w = 0$ のとき $2$ 通り。 $w = 3, 6$ のときは $u \equiv 1 (mod 3)$ が必要で $u = 1$ のみ、各 $1$ 通り。合計 $1 + 4 = 5$ 個。
- $Z /5$ ： $w^{2} = 0$ となるのは $w = 0$ のみで、 $u$ は $2$ 通り。合計 $1 + 2 = 3$ 個。

5. 集計.
$N = (9 \cdot 5) (5 \cdot 3) (3 \cdot 3) = 45 \cdot 15 \cdot 9 = 6075.$

別解

環準同型 $Z [M] \to R$ は、モノイド準同型 $M \to (R, \cdot)$ と一対一に対応する。 $R = Z /360 ≅ Z /8 \times Z /9 \times Z /5$ なので、モノイド準同型の個数は各成分への準同型の個数の積になる。

まず $M$ を分解する。中国剰余定理より $M ≅ (Z /4, \cdot) \times (Z /3, \cdot)$ である。像が可換モノイドなので、 $M$ からの準同型は両因子からの準同型の組と一対一に対応する。

$(Z /3, \cdot)$ からの準同型は、 $e = f (0)$ , $t = f (2)$ で決まる。条件は $e^{2} = e$ , $t^{2} = 1$ , $e t = e$ である。

$(Z /4, \cdot)$ からの準同型は、 $a = f (2)$ , $b = f (3)$ で決まる。このとき $f (0) = a^{2}$ である。条件は $b^{2} = 1$ , $ab = a$ , $a^{3} = a^{2}$ である。

$Z /5$ の場合
$Z /3$ 側は、 $e = 0$ なら $t \in {1, 4}$ の 2 通り、 $e = 1$ なら $t = 1$ の 1 通りで、合計 3 通り。
$Z /4$ 側は、 $a = 0$ なら $b \in {1, 4}$ の 2 通り、 $a = 1$ なら $b = 1$ の 1 通りで、合計 3 通り。
積は $3 \cdot 3 = 9$ 。
$Z /9$ の場合
冪等元は $0, 1$ 、 $t^{2} = 1$ の解は $t \in {1, 8}$ である。 $Z /3$ 側は 2+1=3 通り。
$Z /4$ 側は $b \in {1, 8}$ 。 $a^{3} = a^{2}$ を満たす $a$ は $0, 1, 3, 6$ 。
$a = 0$ なら $b$ は 2 通り。 $a = 3$ のとき $3 \cdot 8 = 6 \neq = 3$ なので $b = 1$ の 1 通り。 $a = 6$ のとき $6 \cdot 8 = 3 \neq = 6$ なので $b = 1$ の 1 通り。 $a = 1$ なら $b = 1$ の 1 通り。合計 5 通り。
積は $3 \cdot 5 = 15$ 。
$Z /8$ の場合
冪等元は $0, 1$ 、 $t^{2} = 1$ の解は $t \in {1, 3, 5, 7}$ の 4 通りである。 $Z /3$ 側は $e = 0$ で 4 通り、 $e = 1$ で 1 通りの合計 5 通り。
$Z /4$ 側は、 $a^{3} = a^{2}$ を満たす $a$ は $0, 1, 4$ 。 $a = 0$ なら $b$ は 4 通り、 $a = 1$ なら $b = 1$ の 1 通り、 $a = 4$ なら $4 b = 4$ より $b$ は任意の奇数で 4 通り。合計 9 通り。
積は $5 \cdot 9 = 45$ 。

以上より、求める個数は $9 \cdot 15 \cdot 45 = 6075$ である。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる