圏論の問題

この問題では、環は単位元 $1$ をもつものとし、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。モノイド準同型は単位元を単位元に移すものとする。

$M=(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},\cdot )$ を、$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の乗法による可換モノイドとする（単位元は $1$）。$M$ のモノイド環 $\mathbb{Z}[M]$ を次のように定める。$\mathbb{Z}[M]$ は $M$ の元 $[m](m\in M)$ を基底とする自由アーベル群であり、乗法は $[m][m^{\prime }]=[m{m}^{\prime }]$ を双線形に拡張したものである（単位元は $[1]$）。

環準同型 $\mathbb{Z}[M]\to \mathbb{Z}/360\mathbb{Z}$ の個数を求めよ。

群と群準同型のなす圏を $\mathbf{Grp}$、集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、群をその台集合に送る忘却関手を $U:\mathbf{Grp}\to \mathbf{Set}$ とする。$U$ は左随伴 $F:\mathbf{Set}\to \mathbf{Grp}$ をもち、集合 $X$ に対して $F(X)$ は $X$ 上の自由群である。すなわち、集合 $X$ と群 $H$ に対して、自然な全単射
$${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Grp}}(F(X),H)\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(X,U(H))$$
がある。

$X=\{x,y,z\}$ を $3$ 個の元からなる集合とし、$S_3$ を $\{1,2,3\}$ の置換全体のなす対称群とする。群準同型 $F(X)\to S_3$ の個数を求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=B=\{0,1,2,\dots ,11\}$ とし、写像 $f,g:A\to B$ を
$$f(x)=(x^2\text{ を }12\text{ で割った余り}),g(x)=(3x\text{ を }12\text{ で割った余り})$$
で定める。$\mathbf{FinSet}$ における平行な射の組 $f,g:A\rightrightarrows B$ の余等化子（コイコライザー）$q:B\to Q$ をとるとき、集合 $Q$ の要素の個数を求めよ。

群と群準同型のなす圏を $\mathbf{Grp}$、アーベル群と群準同型のなす圏を $\mathbf{Ab}$ とする。包含関手 $\iota :\mathbf{Ab}\to \mathbf{Grp}$ は左随伴 $(-{)}^{\mathrm{ab}}:\mathbf{Grp}\to \mathbf{Ab}$, $H\mapsto H^{\mathrm{ab}}=H/[H,H]$（アーベル化）をもつ。

$S_4$ を $4$ 次対称群、$Q_8=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ を位数 $8$ の四元数群とし、群
$$G=S_4\times Q_8\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$$
を考える。また、アーベル群
$$A=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$$
を考える。hom 集合 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Grp}}(G,\iota A)$、すなわち $G$ から $A$ への群準同型全体の集合の要素の個数を求めよ。

$k={\mathbb{F}}_3=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ とし、$k$ 上の有限次元ベクトル空間と $k$ 線形写像のなす圏を $\mathcal{V}$ とする。集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とする。

$V\in \mathcal{V}$ に対し、$V{\otimes }_{k}V$ の部分空間 $W_V=\mathrm{span}\{v\otimes v\mid v\in V\}$ による商空間を ${\Lambda }^{2}V=(V{\otimes }_{k}V)/W_V$ とし、$v\otimes w$ の像を $v\wedge w$ と書く。線形写像 $f:V\to V^{\prime }$ に対し $f\otimes f$ は $W_V$ を $W_{V^{\prime }}$ に移すので、線形写像 ${\Lambda }^{2}f:v\wedge w\mapsto f(v)\wedge f(w)$ が定まる。

関手 $F,G:\mathcal{V}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。
- $F(V)=(V\times V)\bigsqcup (V\times V\times V)$（集合としての直積の非交和）とし、線形写像 $f$ に対して $F(f)$ は各成分に $f$ を施す写像 $(v,w)\mapsto (f(v),f(w))$, $(u,v,w)\mapsto (f(u),f(v),f(w))$ とする。
- $G(V)$ は ${\Lambda }^{2}V$ の台集合とし、$G(f)={\Lambda }^{2}f$ とする。

自然変換 $F\Rightarrow G$ の個数を求めよ（自然変換の成分は線形である必要はなく、単なる写像でよい）。