圏論の問題

モノイドとは単位元をもつ半群のことであり、モノイド準同型は積と単位元を保つ写像とする。モノイドとモノイド準同型のなす圏を $\mathbf{Mon}$、集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、忘却関手 $U:\mathbf{Mon}\to \mathbf{Set}$ の左随伴（自由モノイド関手）を $F:\mathbf{Set}\to \mathbf{Mon}$ とする。

$T_3$ を集合 $\{1,2,3\}$ からそれ自身への写像全体が写像の合成を積、恒等写像を単位元としてなすモノイドとし、$X=\{a,b\}$ とする。hom 集合 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Mon}}(F(X),T_3)$ の元の個数を求めよ。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。${\mathbb{F}}_3=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ とする。

可換 ${\mathbb{F}}_3$ 代数 $A$ であって、すべての $a\in A$ について $a^3=a$ を満たすもの全体を対象とし、${\mathbb{F}}_3$ 代数の準同型を射とする圏を $\mathcal{C}$ とする。忘却関手 $U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$（$A$ をその台集合に送る）と、その直積 $U\times U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$, $A\mapsto U(A)\times U(A)$ を考える。

自然変換 $U\times U\Rightarrow U$ の個数を求めよ。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつものとし、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。モノイド準同型は単位元を単位元に移すものとする。

$M=(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},\cdot )$ を、$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の乗法による可換モノイドとする（単位元は $1$）。$M$ のモノイド環 $\mathbb{Z}[M]$ を次のように定める。$\mathbb{Z}[M]$ は $M$ の元 $[m](m\in M)$ を基底とする自由アーベル群であり、乗法は $[m][m^{\prime }]=[m{m}^{\prime }]$ を双線形に拡張したものである（単位元は $[1]$）。

環準同型 $\mathbb{Z}[M]\to \mathbb{Z}/360\mathbb{Z}$ の個数を求めよ。

群 $K$ に対し、$K$ が左から作用する集合（左 $K$ 集合）と $K$ 同変写像のなす圏を $K\text{-}\mathbf{Set}$ とする。

$G=S_4$ を $\{1,2,3,4\}$ の置換全体のなす対称群とし、$\sigma =(1234)$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。

左 $H$ 集合 $X=\{0,1,2,3\}\bigsqcup \{u,v\}\bigsqcup \{w\}$ を、$\sigma$ の作用
$$\sigma \cdot i=i+1(\mathrm{mod}4)(i\in \{0,1,2,3\}),\sigma \cdot u=v,\sigma \cdot v=u,\sigma \cdot w=w$$
で定める。$X$ の誘導 $G$ 集合を
$$G{\times }_{H}X=(G\times X)/\sim ,(gh,x)\sim (g,h\cdot x)(g\in G,h\in H,x\in X)$$
とし、$G$ は $g^{\prime }\cdot [g,x]=[g^{\prime }g,x]$ で作用させる。

また、$Y$ を $\{1,2,3,4\}$ の部分集合全体（$16$ 個）とし、$G$ を $g\cdot S=g(S)=\{g(s):s\in S\}$ で作用させた左 $G$ 集合とする。

$G$ 同変写像 $G{\times }_{H}X\to Y$ 全体の集合 ${\mathrm{Hom}}_{G\text{-}\mathbf{Set}}(G{\times }_{H}X,Y)$ の要素の個数を求めよ。

群と群準同型のなす圏を $\mathbf{Grp}$、集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、群をその台集合に送る忘却関手を $U:\mathbf{Grp}\to \mathbf{Set}$ とする。$U$ は左随伴 $F:\mathbf{Set}\to \mathbf{Grp}$ をもち、集合 $X$ に対して $F(X)$ は $X$ 上の自由群である。すなわち、集合 $X$ と群 $H$ に対して、自然な全単射
$${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Grp}}(F(X),H)\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(X,U(H))$$
がある。

$X=\{x,y,z\}$ を $3$ 個の元からなる集合とし、$S_3$ を $\{1,2,3\}$ の置換全体のなす対称群とする。群準同型 $F(X)\to S_3$ の個数を求めよ。