圏論の問題

この問題では、環は単位元 $1$ をもつものとし、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。モノイド準同型は単位元を単位元に移すものとする。

$M=(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},\cdot )$ を、$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の乗法による可換モノイドとする（単位元は $1$）。$M$ のモノイド環 $\mathbb{Z}[M]$ を次のように定める。$\mathbb{Z}[M]$ は $M$ の元 $[m](m\in M)$ を基底とする自由アーベル群であり、乗法は $[m][m^{\prime }]=[m{m}^{\prime }]$ を双線形に拡張したものである（単位元は $[1]$）。

環準同型 $\mathbb{Z}[M]\to \mathbb{Z}/360\mathbb{Z}$ の個数を求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。関手 $F:\mathbf{FinSet}\to \mathbf{FinSet}$ を次のように定める。

• 有限集合 $X$ に対して $F(X)=X^4=X\times X\times X\times X$
• 写像 $f:X\to Y$ に対して $F(f)(x_1,x_2,x_3,x_4)=(f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4))$

自然変換 $\eta :F\Rightarrow F$ のうち、自分自身との垂直合成について $\eta \circ \eta =\eta$ を満たすものの個数を求めよ。ここで $\eta \circ \eta =\eta$ とは、すべての有限集合 $X$ について ${\eta }_X\circ {\eta }_X={\eta }_X$ が成り立つことをいう。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環準同型は $1$ を $1$ に写すものとする。また、モノイドは単位元をもち、モノイド準同型は単位元を単位元に写すものとする。

$M$ を、剰余環 $\mathbb{Z}/504\mathbb{Z}$ の乗法だけに注目して得られる可換モノイド $(\mathbb{Z}/504\mathbb{Z},\cdot )$ とする（単位元は $1$ の類）。$M$ のモノイド環 $\mathbb{Z}[M]$ を次で定める。$\mathbb{Z}[M]$ は $M$ の各元 $m$ に対応する記号 $[m]$ 全体を基底とする自由 $\mathbb{Z}$ 加群で、積は
$$[m][m^{\prime }]=[m{m}^{\prime }](m,m^{\prime }\in M)$$
を双線形に拡張して定める（単位元は $[1]$ である。なお、$0\in M$ に対応する基底元 $[0]$ は $\mathbb{Z}[M]$ の零元ではない）。

$13$ 個の元からなる有限体を ${\mathbb{F}}_{13}$ とする。環準同型 $\mathbb{Z}[M]\to {\mathbb{F}}_{13}$ の個数を求めよ。

この問題では、環は可換で単位元 $1$ をもち、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。$1\ne 0$ であって $0$ 以外のすべての元が乗法の逆元をもつ可換環を体といい、体を対象、環準同型を射とする圏を $\mathbf{Field}$ とする。

有限極限スケッチ $\mathcal{S}=(G,D,L)$ とは、次の組のことをいう。
- $G$ は（有向）グラフ（頂点の集合と辺の集合、各辺の始点と終点）。
- $D$ は、始点と終点が同じである $G$ の道（長さ 0 の道を含む）の組 $(\sigma ,\tau )$ の集合。
- $L$ は錐の集合。各錐は、頂点 $v$、有限グラフ $I$ とグラフの準同型 $\delta :I\to G$、および $I$ の各頂点 $i$ に対する $G$ の辺 ${\lambda }_i:v\to \delta (i)$ からなる。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、$G$ の各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺 $f:w\to w^{\prime }$ に写像 $M(f):M(w)\to M(w^{\prime })$ を対応させたもので、次の 2 条件を満たすものとする。
- $D$ の各組 $(\sigma ,\tau )$ について、道に沿った写像の合成が等しい（長さ 0 の道は恒等写像と読む）。
- $L$ の各錐 $(v,\delta ,({\lambda }_i))$ について、$I$ の頂点 $i$ にわたる直積の部分集合
$$\Lambda =\{(x_i{)}_i\in \prod _{i}M(\delta (i))|I\text{ の各辺 }a:i\to j\text{ について }M(\delta (a))(x_i)=x_j\}$$
を考えたとき、写像 $x\mapsto (M({\lambda }_i)(x){)}_i$ が $M(v)$ から $\Lambda$ への全単射である（$I$ の頂点がないとき ${\prod }_{i}M(\delta (i))$ は 1 点集合とする）。

モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)$（$w$ は $G$ の頂点全体を動く）で、$G$ のすべての辺 $f:w\to w^{\prime }$ について $N(f)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとの合成で定める。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

どのような有限極限スケッチ $\mathcal{S}$ に対しても、$\mathbf{Field}$ は $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ と圏同値でないことを証明せよ。ただし、圏同値を与える関手は充満忠実かつ本質的全射であることは用いてよい。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなす。対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことであり、$X_n=X([n])$ の元を $X$ の $n$ 単体という。

$0\le i\le n-1$ に対し、${\sigma }_i:[n]\to [n-1]$ を $i$ と $i+1$ をともに $i$ に移す唯一の全射単調写像とする。$n\ge 1$ のとき、$x\in X_n$ が退化しているとは、ある $i$ とある $y\in X_{n-1}$ により $x=X({\sigma }_i)(y)$ と書けることをいい、退化していない単体を非退化単体という（$0$ 単体はすべて非退化とする）。

${\Delta }^2={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[2])$ を表現可能前層とし、積 $X={\Delta }^2\times {\Delta }^2$ を各次元ごとの直積 $X_n={\Delta }_n^2\times {\Delta }_n^2$（構造写像は成分ごと）で定める。

$X$ の非退化単体の個数を、すべての次元 $n\ge 0$ にわたって合計した値を求めよ。