圏論の問題

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。${\mathbb{F}}_3=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ とする。

可換 ${\mathbb{F}}_3$ 代数 $A$ であって、すべての $a\in A$ について $a^3=a$ を満たすもの全体を対象とし、${\mathbb{F}}_3$ 代数の準同型を射とする圏を $\mathcal{C}$ とする。忘却関手 $U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$（$A$ をその台集合に送る）と、その直積 $U\times U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$, $A\mapsto U(A)\times U(A)$ を考える。

自然変換 $U\times U\Rightarrow U$ の個数を求めよ。

集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、関手 $F,G:\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。

- $F(X)$ は、$X$ の部分集合のうち要素の個数が $1$ または $2$ であるもの全体とし、写像 $f:X\to X^{\prime }$ に対して $F(f)(S)=f(S)=\{f(s):s\in S\}$ とする（$f(S)$ の要素の個数は $1$ または $2$ なので $F(f)(S)\in F(X^{\prime })$ である）。
- $\mathcal{P}(X)$ を $X$ の部分集合全体とし、$G(X)=\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$（$X$ の部分集合からなる集合族全体）とする。写像 $f:X\to X^{\prime }$ に対して
$$G(f)(\mathcal{A})=\{f(S):S\in \mathcal{A}\}(\mathcal{A}\in G(X))$$
とする。

自然変換 $F\Rightarrow G$ の個数を求めよ。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を順序を保つ（広義単調増加な）写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことであり、$X_n=X([n])$ の元を $n$ 単体という。$n$ 単体 $x\in X_n$ が退化しているとは、ある全射 $s:[n]\to [m]$（$m<n$）と $y\in X_m$ があって $x=X(s)(y)$ と書けることをいい、退化していない単体を非退化単体という。

${\Delta }^p={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[p])$ を標準 $p$ 単体とし、単体的集合の積は各次数ごとの直積 $(X\times Y{)}_n=X_n\times Y_n$ で定める。単体的集合 ${\Delta }^2\times {\Delta }^2$ の非退化単体の個数（すべての次元 $n\ge 0$ にわたる総数）を求めよ。

集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、$[3]=\{1,2,3\}$ とおく。関手 $F,G:\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。

• $F(X)$ は、$X^3$ に「$(x_1,x_2,x_3)\sim (x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)})$（$\sigma$ は $[3]$ の置換）」という同値関係を入れた商集合 $X^3/\sim$（$X$ の元を重複を許して $3$ 個選んだ組の全体）とする。写像 $f:X\to Y$ に対して $F(f)$ は $[(x_1,x_2,x_3)]\mapsto [(f(x_1),f(x_2),f(x_3))]$ とする。
• $G(X)=\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$（$X$ の部分集合からなる族の全体）とする。写像 $f:X\to Y$ に対して $G(f)$ は $\mathcal{A}\mapsto \{f(A)\mid A\in \mathcal{A}\}$ とする。ここで $f(A)=\{f(a)\mid a\in A\}$ である。

$F$ から $G$ への自然変換の個数を求めよ。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなす。対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことであり、$X_n=X([n])$ の元を $X$ の $n$ 単体という。

$0\le i\le n-1$ に対し、${\sigma }_i:[n]\to [n-1]$ を $i$ と $i+1$ をともに $i$ に移す唯一の全射単調写像とする。$n\ge 1$ のとき、$x\in X_n$ が退化しているとは、ある $i$ とある $y\in X_{n-1}$ により $x=X({\sigma }_i)(y)$ と書けることをいい、退化していない単体を非退化単体という（$0$ 単体はすべて非退化とする）。

${\Delta }^2={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[2])$ を表現可能前層とし、積 $X={\Delta }^2\times {\Delta }^2$ を各次元ごとの直積 $X_n={\Delta }_n^2\times {\Delta }_n^2$（構造写像は成分ごと）で定める。

$X$ の非退化単体の個数を、すべての次元 $n\ge 0$ にわたって合計した値を求めよ。