圏論の問題

$k={\mathbb{F}}_3=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ とし、$k$ 上の有限次元ベクトル空間と $k$ 線形写像のなす圏を $\mathcal{V}$ とする。集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とする。

$V\in \mathcal{V}$ に対し、$V{\otimes }_{k}V$ の部分空間 $W_V=\mathrm{span}\{v\otimes v\mid v\in V\}$ による商空間を ${\Lambda }^{2}V=(V{\otimes }_{k}V)/W_V$ とし、$v\otimes w$ の像を $v\wedge w$ と書く。線形写像 $f:V\to V^{\prime }$ に対し $f\otimes f$ は $W_V$ を $W_{V^{\prime }}$ に移すので、線形写像 ${\Lambda }^{2}f:v\wedge w\mapsto f(v)\wedge f(w)$ が定まる。

関手 $F,G:\mathcal{V}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。
- $F(V)=(V\times V)\bigsqcup (V\times V\times V)$（集合としての直積の非交和）とし、線形写像 $f$ に対して $F(f)$ は各成分に $f$ を施す写像 $(v,w)\mapsto (f(v),f(w))$, $(u,v,w)\mapsto (f(u),f(v),f(w))$ とする。
- $G(V)$ は ${\Lambda }^{2}V$ の台集合とし、$G(f)={\Lambda }^{2}f$ とする。

自然変換 $F\Rightarrow G$ の個数を求めよ（自然変換の成分は線形である必要はなく、単なる写像でよい）。

群と群準同型のなす圏を $\mathbf{Grp}$、集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、群をその台集合に送る忘却関手を $U:\mathbf{Grp}\to \mathbf{Set}$ とする。$U$ は左随伴 $F:\mathbf{Set}\to \mathbf{Grp}$ をもち、集合 $X$ に対して $F(X)$ は $X$ 上の自由群である。すなわち、集合 $X$ と群 $H$ に対して、自然な全単射
$${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Grp}}(F(X),H)\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(X,U(H))$$
がある。

$X=\{x,y,z\}$ を $3$ 個の元からなる集合とし、$S_3$ を $\{1,2,3\}$ の置換全体のなす対称群とする。群準同型 $F(X)\to S_3$ の個数を求めよ。

対象が $0,1$ の $2$ つで、恒等射以外の射が $i:0\to 1$ の $1$ つだけである圏を $\mathcal{C}$ とする（半順序集合 $\{0<1\}$ を圏とみなしたもの）。$\mathcal{C}$ 上の前層とは関手 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことであり、前層 $X$ は $2$ つの集合 $X(0),X(1)$ と写像 $X(i):X(1)\to X(0)$ で決まる。前層の射とは前層の間の自然変換のことである。

前層 $X,Y$ を次で定める。
- $X(1)=\{a,b,c\}$、$X(0)=\{u,v\}$、$X(i)(a)=X(i)(b)=u$、$X(i)(c)=v$
- $Y(1)=\{1,2,3,4,5\}$、$Y(0)=\{p,q,r\}$、$Y(i)(1)=Y(i)(2)=p$、$Y(i)(3)=Y(i)(4)=Y(i)(5)=q$

前層の射 $X\to Y$ の個数を求めよ。

群 $K$ に対し、$K$ が左から作用する集合（左 $K$ 集合）と $K$ 同変写像のなす圏を $K\text{-}\mathbf{Set}$ とする。$K$ の部分群 $L$ に対し、$K/L$ は左剰余類全体の集合に $K$ が左乗法で作用する $K$ 集合とする。

$G=⟨g⟩$ を $g$ で生成される位数 $6$ の巡回群（単位元 $e$）とし、$H=⟨g^3⟩=\{e,g^3\}$ とする。左 $H$ 集合 $X$ を
$$X=\{p\}\bigsqcup H$$
で定める。ここで $H$ は 1 点 $p$ に自明に作用し、$H$ 自身には左乗法で作用する。また、左 $H$ 集合 $X$ に対し、誘導 $G{\times }_{H}X$ を、$G\times X$ を同値関係 $(gh,x)\sim (g,hx)$ $(g\in G,h\in H,x\in X)$ で割った集合に $G$ が $g^{\prime }\cdot [g,x]=[g^{\prime }g,x]$ で作用する左 $G$ 集合とする。

左 $G$ 集合 $Y$ を
$$Y=G/⟨g^2⟩\bigsqcup G/⟨g^3⟩\bigsqcup G$$
で定める（最後の $G$ には $G$ が左乗法で作用する）。$G$ 同変写像 $G{\times }_{H}X\to Y$ の個数を求めよ。

$G=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{0,1,2,3\}$ を $4$ を法とする加法による群とする。対象がただ $1$ つ $\ast$ で、射 $\ast \to \ast$ が $G$ の元、射の合成が $G$ の加法、恒等射が $0$ であるような圏を $\mathbf{B}G$ とする。集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とする。

正方形の $4$ つの頂点に $0,1,2,3$ と番号をつけ、各頂点を赤・青・黄の $3$ 色のいずれかで塗る塗り方（写像 $c:\{0,1,2,3\}\to \{\text{赤},\text{青},\text{黄}\}$）全体の集合を $S$ とする。関手 $F:\mathbf{B}G\to \mathbf{Set}$ を、$F(\ast )=S$ とし、射 $k\in G$ に対して写像 $F(k):S\to S$ を
$$(F(k)(c))(i)=c(i-k)(i\in \{0,1,2,3\},\text{引き算は}4\text{を法とする})$$
で定める（塗り方を $k$ 番だけ回転させる）。

表現可能関手 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{B}G}(\ast ,-):\mathbf{B}G\to \mathbf{Set}$ から $F$ への自然変換の個数を求めよ。