圏論の問題

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

$2=\{0,1\}$（$0<1$）と $4=\{0,1,2,3\}$（$0<1<2<3$）を通常の大小関係による全順序集合とし、上のようにして圏とみなす。関手圏 $[2,4]$ を、対象が関手 $2\to 4$、射が関手の間の自然変換、合成が自然変換の各成分ごとの合成である圏とする。

関手圏 $[2,4]$ の射の総数（恒等自然変換も含める）を求めよ。

$n\ge 0$ を整数とし、$[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなす。対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことで、$X([m])$ の元を $X$ の $m$ 単体とよぶ。$m$ 単体 $x$ が退化しているとは、ある $(m-1)$ 単体 $y$ と全射な広義単調増加写像 $\sigma :[m]\to [m-1]$ があって $x=X(\sigma )(y)$ と書けることをいう（$m\ge 1$ のとき）。

標準 $4$ 単体 ${\Delta }^4={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[4])$ の $2$ 単体のうち、退化しているものの個数を求めよ。

集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、$[3]=\{1,2,3\}$ とおく。関手 $F,G:\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。

• $F(X)$ は、$X^3$ に「$(x_1,x_2,x_3)\sim (x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)})$（$\sigma$ は $[3]$ の置換）」という同値関係を入れた商集合 $X^3/\sim$（$X$ の元を重複を許して $3$ 個選んだ組の全体）とする。写像 $f:X\to Y$ に対して $F(f)$ は $[(x_1,x_2,x_3)]\mapsto [(f(x_1),f(x_2),f(x_3))]$ とする。
• $G(X)=\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$（$X$ の部分集合からなる族の全体）とする。写像 $f:X\to Y$ に対して $G(f)$ は $\mathcal{A}\mapsto \{f(A)\mid A\in \mathcal{A}\}$ とする。ここで $f(A)=\{f(a)\mid a\in A\}$ である。

$F$ から $G$ への自然変換の個数を求めよ。

$G=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{0,1,2,3\}$ を $4$ を法とする加法による群とする。対象がただ $1$ つ $\ast$ で、射 $\ast \to \ast$ が $G$ の元、射の合成が $G$ の加法、恒等射が $0$ であるような圏を $\mathbf{B}G$ とする。集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とする。

正方形の $4$ つの頂点に $0,1,2,3$ と番号をつけ、各頂点を赤・青・黄の $3$ 色のいずれかで塗る塗り方（写像 $c:\{0,1,2,3\}\to \{\text{赤},\text{青},\text{黄}\}$）全体の集合を $S$ とする。関手 $F:\mathbf{B}G\to \mathbf{Set}$ を、$F(\ast )=S$ とし、射 $k\in G$ に対して写像 $F(k):S\to S$ を
$$(F(k)(c))(i)=c(i-k)(i\in \{0,1,2,3\},\text{引き算は}4\text{を法とする})$$
で定める（塗り方を $k$ 番だけ回転させる）。

表現可能関手 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{B}G}(\ast ,-):\mathbf{B}G\to \mathbf{Set}$ から $F$ への自然変換の個数を求めよ。

$n\ge 0$ を整数とし、$[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなす。対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことで、$X([m])$ の元を $m$ 単体とよぶ。$m$ 単体が退化しているとは、ある全射な広義単調増加写像 $\sigma :[m]\to [m-1]$ と $(m-1)$ 単体 $y$ によって $X(\sigma )(y)$ と書けることをいい、そうでない単体を非退化という。標準単体を ${\Delta }^n={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[n])$ とし、単体的集合の積 $X\times Y$ は各 $[m]$ ごとの直積 $(X\times Y)([m])=X([m])\times Y([m])$ で定める。

積 ${\Delta }^1\times {\Delta }^2$ の非退化な $2$ 単体の個数を求めよ。