前層と前層の射

小さい圏上の前層 $X : C^{op} \to Set$ を具体的に読み取り（有向グラフを 2 対象の圏上の前層とみるなど）、前層の間の自然変換をグラフ準同型のような組合せ的な対象として数えられる（例: 長さ 3 の道からの射は長さ 3 の歩道の個数）

前提

表現可能関手と米田の補題（大学院数学圏論）

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算数中学高校大学大学院

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表現可能関手と米田の補題（大学院数学圏論）

説明

小さい圏 $C$ 上の前層とは反変関手 $X : C^{op} \to Set$ 、つまり各対象 $c$ に集合 $X (c)$ を、各射 $f : c \to d$ に「逆向きの」写像 $X (f) : X (d) \to X (c)$ を与えるものです。この技能では、前層を有向グラフのような組合せ的な対象として読み取り、前層の射（自然変換）をグラフ準同型として数えられるようになります。たとえば、長さ $n$ の道からグラフへの射の個数は、そのグラフの長さ $n$ の歩道（同じ辺や頂点を何度通ってもよい、続けてたどれる辺の列）の個数になります。

なぜそうしてよいのか

対象 $0, 1$ と、恒等射以外に 2 本の射 $s, t : 0 \to 1$ だけをもつ圏 $G$ を考えます（恒等射以外の射どうしは合成できないので、合成は恒等射とのものだけです）。 $G$ 上の前層 $X$ は、集合 $X (0)$ （頂点の集合）、 $X (1)$ （辺の集合）と、2 つの写像 $X (s), X (t) : X (1) \to X (0)$ からなります。辺 $e$ に対し $X (s) (e)$ を始点、 $X (t) (e)$ を終点と読めば、これはちょうど「多重辺やループを許す有向グラフ」です。射の向きが逆になるのは前層が反変だからで、 $G$ の射 $s : 0 \to 1$ が「辺から頂点を取り出す写像」 $X (1) \to X (0)$ に変わります。

前層の射 $α : X \to Y$ は自然変換なので、成分 $α_{0} : X (0) \to Y (0)$ 、 $α_{1} : X (1) \to Y (1)$ と、 $G$ の各射についての可換性
$Y (s) \circ α_{1} = α_{0} \circ X (s), Y (t) \circ α_{1} = α_{0} \circ X (t)$
からなります（恒等射についての条件は自動的に成り立ちます）。これは「辺 $e$ の行き先 $α_{1} (e)$ の始点・終点が、 $e$ の始点・終点の行き先と一致する」という条件で、グラフ準同型の定義そのものです。したがって前層の射を数えることは、グラフ準同型を数えることと同じです。米田の補題と照らし合わせると、表現可能前層 $Hom_{G} (-, 1)$ は頂点 2 つ（ $s, t$ ）と辺 1 本（ $id_{1}$ ）のグラフ、 $Hom_{G} (-, 0)$ は頂点 1 つだけで辺のないグラフで、そこからの射の個数がそれぞれ $∣ Y (1) ∣$ （辺の本数）、 $∣ Y (0) ∣$ （頂点の個数）になることが確かめられます。

頂点 $v_{0}, \dots, v_{n}$ と辺 $e_{i} : v_{i - 1} \to v_{i}$ （ $1 \leq i \leq n$ ）からなる長さ $n$ の道 $P_{n}$ から $Y$ への射は、各辺の行き先 $f_{i} = α_{1} (e_{i}) \in Y (1)$ を決めれば、頂点の行き先は $α_{0} (v_{i - 1}) = Y (s) (f_{i})$ 、 $α_{0} (v_{i}) = Y (t) (f_{i})$ で決まってしまいます。これが矛盾なく定まる条件は $Y (t) (f_{i}) = Y (s) (f_{i + 1})$ （ $1 \leq i \leq n - 1$ ）だけなので、射は「続けてたどれる辺の列 $(f_{1}, \dots, f_{n})$ 」、つまり長さ $n$ の歩道と 1 対 1 に対応します。

手順

前層をグラフとして読む: $X (0)$ を頂点、 $X (1)$ を辺とし、 $X (s), X (t)$ で各辺の始点・終点を書き出す
射の条件を書く: $α = (α_{0}, α_{1})$ で $Y (s) \circ α_{1} = α_{0} \circ X (s)$ 、 $Y (t) \circ α_{1} = α_{0} \circ X (t)$
定義域側で自由に選べる部分を見極める: 辺の行き先を決めると、辺に接する頂点の行き先は始点・終点の条件で決まる（孤立した頂点だけは $∣ Y (0) ∣$ 通り自由に選べる）
矛盾なく決まる選び方を数える: 道 $P_{n}$ なら $Y (t) (f_{i}) = Y (s) (f_{i + 1})$ を満たす辺の列、つまり長さ $n$ の歩道を数える（頂点ごとに「入る辺の数 × 出る辺の数」を足すなど、和の法則・積の法則を使う）

例題

対象 $0, 1$ と、恒等射以外の射 $s, t : 0 \to 1$ だけをもつ圏を $G$ とする。 $G$ 上の前層 $Y$ を、 $Y (0) = {1, 2, 3}$ 、 $Y (1) = {e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5}}$ とし、 $Y (s), Y (t)$ を次で定める（ $e : u \to v$ は $Y (s) (e) = u$ 、 $Y (t) (e) = v$ を表す）: $e_{1} : 1 \to 2$ 、 $e_{2} : 2 \to 3$ 、 $e_{3} : 3 \to 1$ 、 $e_{4} : 1 \to 2$ 、 $e_{5} : 2 \to 2$ 。また前層 $P$ を、 $P (0) = {v_{0}, v_{1}, v_{2}}$ 、 $P (1) = {a, b}$ 、 $a : v_{0} \to v_{1}$ 、 $b : v_{1} \to v_{2}$ で定める。前層の射（自然変換） $P \to Y$ の個数を求めよ。

例題の解答

手順 1: $Y$ は頂点 $1, 2, 3$ のグラフで、 $1 \to 2$ の辺が 2 本（ $e_{1}, e_{4}$ ）、 $2 \to 3$ 、 $3 \to 1$ の辺が 1 本ずつ、頂点 $2$ にループ $e_{5}$ がある。 $P$ は長さ 2 の道 $v_{0} \to v_{1} \to v_{2}$ である。

手順 2: 射 $α$ は $α_{0} : P (0) \to Y (0)$ 、 $α_{1} : P (1) \to Y (1)$ で、 $Y (s) (α_{1} (a)) = α_{0} (v_{0})$ 、 $Y (t) (α_{1} (a)) = α_{0} (v_{1})$ 、 $Y (s) (α_{1} (b)) = α_{0} (v_{1})$ 、 $Y (t) (α_{1} (b)) = α_{0} (v_{2})$ を満たすもの。

手順 3: $P$ には孤立した頂点がないので、 $f = α_{1} (a)$ 、 $g = α_{1} (b)$ を決めれば $α_{0}$ は決まる。矛盾なく決まる条件は $Y (t) (f) = Y (s) (g)$ （ $α_{0} (v_{1})$ が一通りに定まること）だけ。

手順 4: 中間の頂点 $w = α_{0} (v_{1})$ ごとに、 $w$ に入る辺の数 × $w$ から出る辺の数を数える。
- $w = 1$ : 入る辺 ${e_{3}}$ 、出る辺 ${e_{1}, e_{4}}$ で $1 \times 2 = 2$ 。
- $w = 2$ : 入る辺 ${e_{1}, e_{4}, e_{5}}$ 、出る辺 ${e_{2}, e_{5}}$ で $3 \times 2 = 6$ 。
- $w = 3$ : 入る辺 ${e_{2}}$ 、出る辺 ${e_{3}}$ で $1 \times 1 = 1$ 。
和の法則より $2 + 6 + 1 = 9$ 。

答え: $9$

よくある誤り

前層を単純グラフとみなし、辺を「頂点の組」で数えてしまう誤り。 $Y (1)$ の元は別々の辺なので、例題の $e_{1}, e_{4}$ のような平行な辺は区別する。 $1 \to 2$ を 1 本と数えると、 $w = 1$ の項が $1 \times 1 = 1$ 、 $w = 2$ の項が $2 \times 2 = 4$ に減り、合計 $1 + 4 + 1 = 6$ という誤答になる。正しくは $9$ 。
射を辺の成分 $α_{1}$ だけで考え、始点・終点の条件を確かめずに $∣ Y (1) ∣^{∣ P (1) ∣}$ と数えてしまう誤り。例題なら $5^{2} = 25$ になるが、条件 $Y (t) (α_{1} (a)) = Y (s) (α_{1} (b))$ を満たすものだけが射なので、正しくは $9$ 。逆に孤立した頂点がある場合は、その行き先を $∣ Y (0) ∣$ 通り掛けるのを忘れない。
前層の向きを取り違え、 $G$ の射 $s : 0 \to 1$ から写像 $X (0) \to X (1)$ ができると考えてしまう誤り。前層は反変なので $X (s) : X (1) \to X (0)$ であり、これが「辺に始点を対応させる写像」になる。
道からの射を、頂点が重ならない道（単射な像）だけと考えてしまう誤り。前層の射は単射である必要がないので、ループを 2 回たどる $(e_{5}, e_{5})$ や $(e_{1}, e_{5})$ なども 1 つの射として数える。長さ $n$ の道からの射の個数は長さ $n$ の歩道の個数である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
対象が $0, 1$ の $2$ つで、恒等射以外の射が $i : 0 \to 1$ の $1$ つだけである圏を $C$ とする（半順序集合 ${0 < 1}$ を圏とみなしたもの）。 $C$ 上の前層とは関手 $C^{op} \to Set$ のことであり、前層 $X$ は $2$ つの集合 $X (0), X (1)$ と写像 $X (i) : X (1) \to X (0)$ で決まる。前層の射とは前層の間の自然変換のことである。
前層 $X, Y$ を次で定める。
- $X (1) = {a, b, c}$ 、 $X (0) = {u, v}$ 、 $X (i) (a) = X (i) (b) = u$ 、 $X (i) (c) = v$
- $Y (1) = {1, 2, 3, 4, 5}$ 、 $Y (0) = {p, q, r}$ 、 $Y (i) (1) = Y (i) (2) = p$ 、 $Y (i) (3) = Y (i) (4) = Y (i) (5) = q$
前層の射 $X \to Y$ の個数を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

単体的集合と非退化単体（大学院数学圏論）