単体的集合と非退化単体

圏 $Δ$ と単体的集合の面・退化写像を理解し、標準単体 $Δ^{n} = Hom_{Δ} (-, [n])$ の $m$ 単体が単調写像 $[m] \to [n]$ 、非退化単体が単射なものであることから非退化 $m$ 単体の個数 $(m + 1 n + 1)$ と総数 $2^{n + 1} - 1$ を求められる

前提

前層と前層の射（大学院数学圏論）

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算数中学高校大学大学院

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説明

単体的集合は、点・辺・三角形・四面体……を「貼り合わせ方」の情報とともに記録する組合せ的な対象で、圏 $Δ$ 上の前層として定義されます。この技能では、面写像（単体の境界の面を取り出す）と退化写像（単体を「つぶれた」高次元の単体とみなす）を読み取り、標準単体 $Δ^{n}$ の $m$ 単体を単調写像 $[m] \to [n]$ として具体的に数えられるようになります。特に、本当に $m$ 次元の広がりをもつ非退化 $m$ 単体が単射な単調写像に対応することから、その個数 $(m + 1 n + 1)$ や総数 $2^{n + 1} - 1$ を求められます。

なぜそうしてよいのか

圏 $Δ$ の対象は $n \geq 0$ ごとの全順序集合 $[n] = {0 < 1 < \dots < n}$ 、射は単調写像 $f : [m] \to [n]$ （ $i \leq j \Rightarrow f (i) \leq f (j)$ ）です。単体的集合とは前層 $X : Δ^{op} \to Set$ のことで、 $X_{m} = X ([m])$ の元を $m$ 単体と呼びます。特別な射として、 $i$ を値にとらない単射 $δ^{i} : [m - 1] \to [m]$ （ $0 \leq i \leq m$ ）と、 $j$ と $j + 1$ の 2 点を $j$ に送る全射 $σ^{j} : [m + 1] \to [m]$ （ $0 \leq j \leq m$ ）があり、これらから面写像 $d_{i} = X (δ^{i}) : X_{m} \to X_{m - 1}$ と退化写像 $s_{j} = X (σ^{j}) : X_{m} \to X_{m + 1}$ が得られます（前層なので向きが逆になります）。 $m$ 単体 $x$ が、ある $j$ と $y \in X_{m - 1}$ によって $x = s_{j} (y)$ と書けるとき $x$ は退化しているといい、そう書けないとき非退化といいます。 $m = 0$ のときは $X_{- 1}$ がないので、0 単体はすべて非退化です。

標準単体 $Δ^{n} = Hom_{Δ} (-, [n])$ は表現可能前層なので、その $m$ 単体はそのまま単調写像 $f : [m] \to [n]$ で、 $g : [k] \to [m]$ による作用は合成 $f \mapsto f \circ g$ です。 $f$ を値の列 $(f (0), f (1), \dots, f (m))$ と見ると、これは ${0, \dots, n}$ の元を重複を許して小さい順に $m + 1$ 個並べたもので、頂点 $f (0), \dots, f (m)$ を順に結んだ（重なりがあるかもしれない） $m$ 単体と思えます。

$m \geq 1$ のとき、 $f$ が退化している $⟺$ $f$ が単射でない、が成り立ちます。実際、 $f = s_{j} (h) = h \circ σ^{j}$ なら $f (j) = h (j) = f (j + 1)$ なので単射ではありません。逆に $f$ が単射でなければ、単調なので隣り合う $j$ で $f (j) = f (j + 1)$ となり、 $h = f \circ δ^{j + 1} : [m - 1] \to [n]$ （ $f$ の列から $f (j + 1)$ を取り除いたもの）とおくと $h \circ σ^{j} = f$ が値を 1 つずつ比べて確かめられます。単射な単調写像は狭義単調増加なので像の $(m + 1)$ 元部分集合だけで決まり、非退化 $m$ 単体の個数は $(m + 1 n + 1)$ です（ $m = 0$ でも 0 単体 $n + 1$ 個はすべて非退化で、 $(1 n + 1)$ と一致します）。 $m = 0, 1, \dots, n$ について足すと、空でない部分集合の個数 $\sum_{m = 0}^{n} (m + 1 n + 1) = 2^{n + 1} - 1$ になります（ $m > n$ では単射がないので非退化単体はありません）。

手順

$Δ^{n}$ の $m$ 単体を、 ${0, 1, \dots, n}$ の元を重複を許して小さい順に並べた長さ $m + 1$ の列 $(f (0) \leq f (1) \leq \dots \leq f (m))$ として表す
$m$ 単体の総数を重複組合せで数える: $n + 1$ 種類から重複を許して $m + 1$ 個選ぶので $(m + 1 n + m + 1)$
非退化かどうかを判定する: 列に等号 $f (j) = f (j + 1)$ があれば退化（ $f = s_{j} (f \circ δ^{j + 1})$ ）、狭義単調増加なら非退化
非退化 $m$ 単体を部分集合で数える: 像の $(m + 1)$ 元部分集合を選ぶので $(m + 1 n + 1)$ 。全次元の合計は $2^{n + 1} - 1$
退化した単体の個数が必要なら、総数から非退化なものを引く: $(m + 1 n + m + 1) - (m + 1 n + 1)$

例題

$Δ$ を、対象が $[n] = {0 < 1 < \dots < n}$ （ $n \geq 0$ ）、射が単調写像の圏とし、標準単体 $Δ^{3} = Hom_{Δ} (-, [3])$ を考える。 $Δ^{3}$ の 2 単体のうち、退化しているもの（ある $j$ と 1 単体 $y$ により $s_{j} (y)$ と書けるもの）の個数を求めよ。

例題の解答

手順 1: $Δ^{3}$ の 2 単体は単調写像 $f : [2] \to [3]$ 、つまり ${0, 1, 2, 3}$ の元の列 $f (0) \leq f (1) \leq f (2)$ である。

手順 2: 総数は 4 種類から重複を許して 3 個選ぶ重複組合せで $(3 3 + 2 + 1) = (3 6) = 20$ 。

手順 3: 列に等号があるものが退化、狭義単調増加 $f (0) < f (1) < f (2)$ のものが非退化である。

手順 4: 非退化な 2 単体は像の 3 元部分集合で決まるので $(3 4) = 4$ 個（ $(0, 1, 2), (0, 1, 3), (0, 2, 3), (1, 2, 3)$ 、四面体の 4 つの面）。

手順 5: 退化している 2 単体は $20 - 4 = 16$ 個。

答え: $16$

よくある誤り

$Δ^{n}$ の $m$ 単体を単射な写像だけと考え、 $m$ 単体の総数を $(m + 1 n + 1)$ としてしまう誤り。 $Δ^{n}$ の $m$ 単体はすべての単調写像 $[m] \to [n]$ で、総数は重複組合せ $(m + 1 n + m + 1)$ 。 $(m + 1 n + 1)$ はそのうち非退化なものの個数である。
$m$ 単体を順序を気にせず写像 $[m] \to [n]$ 全体として $(n + 1)^{m + 1}$ 個と数えてしまう誤り。 $Δ$ の射は単調写像に限るので、例えば $Δ^{3}$ の 2 単体は $4^{3} = 64$ 個ではなく $(3 6) = 20$ 個。
非退化単体の総数を $2^{n + 1}$ としてしまう誤り。 $m$ 単体は $m + 1 \geq 1$ 個の頂点をもつので空集合は対応せず、正しくは $\sum_{m = 0}^{n} (m + 1 n + 1) = 2^{n + 1} - 1$ 。また $m > n$ の非退化単体は $0$ 個だが、 $m \geq 1$ なら退化した $m$ 単体は存在する（例えば定値写像 $[m] \to [n]$ ）。一方 $m = 0$ には退化単体はなく、0 単体はすべて非退化である。
面写像と退化写像の向きを取り違え、 $d_{i} : X_{m} \to X_{m + 1}$ のように考えてしまう誤り。 $X$ は $Δ$ 上の前層（反変）なので、単射 $δ^{i} : [m - 1] \to [m]$ から $d_{i} : X_{m} \to X_{m - 1}$ （次元が下がる）、全射 $σ^{j} : [m + 1] \to [m]$ から $s_{j} : X_{m} \to X_{m + 1}$ （次元が上がる）ができる。 $Δ^{n}$ では $d_{i} (f) = f \circ δ^{i}$ （列から $f (i)$ を取り除く）、 $s_{j} (f) = f \circ σ^{j}$ （ $f (j)$ を 2 回並べる）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$n \geq 0$ を整数とし、 $[n] = {0, 1, \dots, n}$ を通常の順序で全順序集合とみなす。対象を $[n] (n \geq 0)$ 、射を広義単調増加な写像とする圏を $Δ$ とする。単体的集合とは関手 $X : Δ^{op} \to Set$ のことで、 $X ([m])$ の元を $X$ の $m$ 単体とよぶ。 $m$ 単体 $x$ が退化しているとは、ある $(m - 1)$ 単体 $y$ と全射な広義単調増加写像 $σ : [m] \to [m - 1]$ があって $x = X (σ) (y)$ と書けることをいう（ $m \geq 1$ のとき）。
標準 $4$ 単体 $Δ^{4} = Hom_{Δ} (-, [4])$ の $2$ 単体のうち、退化しているものの個数を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

単体的集合の積の非退化単体（大学院数学圏論）