圏論の問題

$n\ge 0$ を整数とし、$[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなす。対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことで、$X([m])$ の元を $m$ 単体とよぶ。$m$ 単体が退化しているとは、ある全射な広義単調増加写像 $\sigma :[m]\to [m-1]$ と $(m-1)$ 単体 $y$ によって $X(\sigma )(y)$ と書けることをいい、そうでない単体を非退化という。標準単体を ${\Delta }^n={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[n])$ とし、単体的集合の積 $X\times Y$ は各 $[m]$ ごとの直積 $(X\times Y)([m])=X([m])\times Y([m])$ で定める。

積 ${\Delta }^1\times {\Delta }^2$ の非退化な $2$ 単体の個数を求めよ。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を順序を保つ（広義単調増加な）写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことであり、$X_n=X([n])$ の元を $n$ 単体という。$n$ 単体 $x\in X_n$ が退化しているとは、ある全射 $s:[n]\to [m]$（$m<n$）と $y\in X_m$ があって $x=X(s)(y)$ と書けることをいい、退化していない単体を非退化単体という。

${\Delta }^p={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[p])$ を標準 $p$ 単体とし、単体的集合の積は各次数ごとの直積 $(X\times Y{)}_n=X_n\times Y_n$ で定める。単体的集合 ${\Delta }^2\times {\Delta }^2$ の非退化単体の個数（すべての次元 $n\ge 0$ にわたる総数）を求めよ。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなす。対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことであり、$X_n=X([n])$ の元を $X$ の $n$ 単体という。

$0\le i\le n-1$ に対し、${\sigma }_i:[n]\to [n-1]$ を $i$ と $i+1$ をともに $i$ に移す唯一の全射単調写像とする。$n\ge 1$ のとき、$x\in X_n$ が退化しているとは、ある $i$ とある $y\in X_{n-1}$ により $x=X({\sigma }_i)(y)$ と書けることをいい、退化していない単体を非退化単体という（$0$ 単体はすべて非退化とする）。

${\Delta }^2={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[2])$ を表現可能前層とし、積 $X={\Delta }^2\times {\Delta }^2$ を各次元ごとの直積 $X_n={\Delta }_n^2\times {\Delta }_n^2$（構造写像は成分ごと）で定める。

$X$ の非退化単体の個数を、すべての次元 $n\ge 0$ にわたって合計した値を求めよ。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことで、$X_m=X([m])$ の元を $m$ 単体とよぶ。$m$ 単体 $x\in X_m$ が、ある全射な射 $\sigma :[m]\to [k]$（$k<m$）と $y\in X_k$ によって $x=X(\sigma )(y)$ と書けるとき $x$ は退化しているといい、そう書けないとき非退化であるという。

表現可能関手 $\Delta [n]={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[n])$ を標準 $n$ 単体とし、単体的集合の積は各次元ごとの直積 $(X\times Y{)}_m=X_m\times Y_m$ で定める。

積 $\Delta [2]\times \Delta [3]$ の非退化単体の総数（すべての次元 $m\ge 0$ にわたる非退化 $m$ 単体の個数の和）を求めよ。

対象が $0,1$ の $2$ つで、恒等射以外の射が $i:0\to 1$ の $1$ つだけである圏を $\mathcal{C}$ とする（半順序集合 $\{0<1\}$ を圏とみなしたもの）。$\mathcal{C}$ 上の前層とは関手 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことであり、前層 $X$ は $2$ つの集合 $X(0),X(1)$ と写像 $X(i):X(1)\to X(0)$ で決まる。前層の射とは前層の間の自然変換のことである。

前層 $X,Y$ を次で定める。
- $X(1)=\{a,b,c\}$、$X(0)=\{u,v\}$、$X(i)(a)=X(i)(b)=u$、$X(i)(c)=v$
- $Y(1)=\{1,2,3,4,5\}$、$Y(0)=\{p,q,r\}$、$Y(i)(1)=Y(i)(2)=p$、$Y(i)(3)=Y(i)(4)=Y(i)(5)=q$

前層の射 $X\to Y$ の個数を求めよ。