圏論の問題

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を順序を保つ（広義単調増加な）写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことであり、$X_n=X([n])$ の元を $n$ 単体という。$n$ 単体 $x\in X_n$ が退化しているとは、ある全射 $s:[n]\to [m]$（$m<n$）と $y\in X_m$ があって $x=X(s)(y)$ と書けることをいい、退化していない単体を非退化単体という。

${\Delta }^p={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[p])$ を標準 $p$ 単体とし、単体的集合の積は各次数ごとの直積 $(X\times Y{)}_n=X_n\times Y_n$ で定める。単体的集合 ${\Delta }^2\times {\Delta }^2$ の非退化単体の個数（すべての次元 $n\ge 0$ にわたる総数）を求めよ。

$n\ge 0$ を整数とし、$[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなす。対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことで、$X([m])$ の元を $m$ 単体とよぶ。$m$ 単体が退化しているとは、ある全射な広義単調増加写像 $\sigma :[m]\to [m-1]$ と $(m-1)$ 単体 $y$ によって $X(\sigma )(y)$ と書けることをいい、そうでない単体を非退化という。標準単体を ${\Delta }^n={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[n])$ とし、単体的集合の積 $X\times Y$ は各 $[m]$ ごとの直積 $(X\times Y)([m])=X([m])\times Y([m])$ で定める。

積 ${\Delta }^1\times {\Delta }^2$ の非退化な $2$ 単体の個数を求めよ。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなす。対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことであり、$X_n=X([n])$ の元を $X$ の $n$ 単体という。

$0\le i\le n-1$ に対し、${\sigma }_i:[n]\to [n-1]$ を $i$ と $i+1$ をともに $i$ に移す唯一の全射単調写像とする。$n\ge 1$ のとき、$x\in X_n$ が退化しているとは、ある $i$ とある $y\in X_{n-1}$ により $x=X({\sigma }_i)(y)$ と書けることをいい、退化していない単体を非退化単体という（$0$ 単体はすべて非退化とする）。

${\Delta }^2={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[2])$ を表現可能前層とし、積 $X={\Delta }^2\times {\Delta }^2$ を各次元ごとの直積 $X_n={\Delta }_n^2\times {\Delta }_n^2$（構造写像は成分ごと）で定める。

$X$ の非退化単体の個数を、すべての次元 $n\ge 0$ にわたって合計した値を求めよ。

$n\ge 0$ を整数とし、$[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなす。対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことで、$X([m])$ の元を $X$ の $m$ 単体とよぶ。$m$ 単体 $x$ が退化しているとは、ある $(m-1)$ 単体 $y$ と全射な広義単調増加写像 $\sigma :[m]\to [m-1]$ があって $x=X(\sigma )(y)$ と書けることをいう（$m\ge 1$ のとき）。

標準 $4$ 単体 ${\Delta }^4={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[4])$ の $2$ 単体のうち、退化しているものの個数を求めよ。

0 以上の整数 $n$ に対して $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を（広義）単調写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことで、$X_n=X([n])$ とおき、$X_n$ の要素を $n$-単体という。$n\ge 1$ と $0\le i\le n-1$ に対して、全射単調写像 ${\sigma }_i:[n]\to [n-1]$ を
$${\sigma }_i(j)=\{\begin{array}{ll}j& (j\le i)\\ j-1& (j\ge i+1)\end{array}$$
で定める。$x\in X_n$ が退化しているとは、ある $0\le i\le n-1$ と $y\in X_{n-1}$ により $x=X({\sigma }_i)(y)$ と書けることをいい、そうでない単体を非退化という（$0$-単体はすべて非退化）。

0 以上の整数 $p$ に対して $\Delta [p]={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[p])$ とし（$\theta :[m]\to [n]$ に対して $\Delta [p](\theta )(f)=f\circ \theta$）、単体的集合 $X,Y$ の積 $X\times Y$ を $(X\times Y{)}_n=X_n\times Y_n$、$(X\times Y)(\theta )=X(\theta )\times Y(\theta )$ で定める。

0 以上の整数 $p,q$ に対して、単体的集合 $\Delta [p]\times \Delta [q]$ は、$n>p+q$ ならば非退化 $n$-単体をもたず、非退化 $(p+q)$-単体をちょうど $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p+q}{p}\right)$ 個もつことを示せ。