圏論の問題

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を順序を保つ（広義単調増加な）写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことであり、$X_n=X([n])$ の元を $n$ 単体という。$n$ 単体 $x\in X_n$ が退化しているとは、ある全射 $s:[n]\to [m]$（$m<n$）と $y\in X_m$ があって $x=X(s)(y)$ と書けることをいい、退化していない単体を非退化単体という。

${\Delta }^p={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[p])$ を標準 $p$ 単体とし、単体的集合の積は各次数ごとの直積 $(X\times Y{)}_n=X_n\times Y_n$ で定める。単体的集合 ${\Delta }^2\times {\Delta }^2$ の非退化単体の個数（すべての次元 $n\ge 0$ にわたる総数）を求めよ。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなす。対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことであり、$X_n=X([n])$ の元を $X$ の $n$ 単体という。

$0\le i\le n-1$ に対し、${\sigma }_i:[n]\to [n-1]$ を $i$ と $i+1$ をともに $i$ に移す唯一の全射単調写像とする。$n\ge 1$ のとき、$x\in X_n$ が退化しているとは、ある $i$ とある $y\in X_{n-1}$ により $x=X({\sigma }_i)(y)$ と書けることをいい、退化していない単体を非退化単体という（$0$ 単体はすべて非退化とする）。

${\Delta }^2={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[2])$ を表現可能前層とし、積 $X={\Delta }^2\times {\Delta }^2$ を各次元ごとの直積 $X_n={\Delta }_n^2\times {\Delta }_n^2$（構造写像は成分ごと）で定める。

$X$ の非退化単体の個数を、すべての次元 $n\ge 0$ にわたって合計した値を求めよ。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことで、$X_m=X([m])$ の元を $m$ 単体とよぶ。$m$ 単体 $x\in X_m$ が、ある全射な射 $\sigma :[m]\to [k]$（$k<m$）と $y\in X_k$ によって $x=X(\sigma )(y)$ と書けるとき $x$ は退化しているといい、そう書けないとき非退化であるという。

表現可能関手 $\Delta [n]={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[n])$ を標準 $n$ 単体とし、単体的集合の積は各次元ごとの直積 $(X\times Y{)}_m=X_m\times Y_m$ で定める。

積 $\Delta [2]\times \Delta [3]$ の非退化単体の総数（すべての次元 $m\ge 0$ にわたる非退化 $m$ 単体の個数の和）を求めよ。

0 以上の整数 $n$ に対して $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を（広義）単調写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことで、$X_n=X([n])$ とおき、$X_n$ の要素を $n$-単体という。$n\ge 1$ と $0\le i\le n-1$ に対して、全射単調写像 ${\sigma }_i:[n]\to [n-1]$ を
$${\sigma }_i(j)=\{\begin{array}{ll}j& (j\le i)\\ j-1& (j\ge i+1)\end{array}$$
で定める。$x\in X_n$ が退化しているとは、ある $0\le i\le n-1$ と $y\in X_{n-1}$ により $x=X({\sigma }_i)(y)$ と書けることをいい、そうでない単体を非退化という（$0$-単体はすべて非退化）。

0 以上の整数 $p$ に対して $\Delta [p]={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[p])$ とし（$\theta :[m]\to [n]$ に対して $\Delta [p](\theta )(f)=f\circ \theta$）、単体的集合 $X,Y$ の積 $X\times Y$ を $(X\times Y{)}_n=X_n\times Y_n$、$(X\times Y)(\theta )=X(\theta )\times Y(\theta )$ で定める。

0 以上の整数 $p,q$ に対して、単体的集合 $\Delta [p]\times \Delta [q]$ は、$n>p+q$ ならば非退化 $n$-単体をもたず、非退化 $(p+q)$-単体をちょうど $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p+q}{p}\right)$ 個もつことを示せ。

半順序集合 $(P,\le )$ は、対象を $P$ の元とし、$c\le d$ のときに限り $c$ から $d$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。

$P=\{a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2\}$ とする。$P$ 上の半順序 $\le$ は、反射律による $c\le c$ $(c\in P)$ と、次の $6$ つの関係だけからなるものとする。
$$a_0\le b_0,a_1\le b_0,a_1\le b_1,a_2\le b_1,a_2\le b_2,a_0\le b_2$$
（これら以外の異なる $2$ 元の間には順序関係はない。）

${\mathbb{F}}_{13}=\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ を $13$ 個の元からなる有限集合とみなす。関手 $F:P\to \mathbf{FinSet}$ を、すべての対象 $c\in P$ に対して $F(c)={\mathbb{F}}_{13}$ とし、恒等射を恒等写像に、恒等射以外の $6$ 本の射を次の写像に移すものとして定める（$x\in {\mathbb{F}}_{13}$ であり、べきは ${\mathbb{F}}_{13}$ の乗法で計算する）。
$$\begin{array}{rlrl}F(a_0\le b_0)& :x\mapsto x^2,& F(a_1\le b_0)& :x\mapsto x^3,\\ F(a_1\le b_1)& :x\mapsto x^4,& F(a_2\le b_1)& :x\mapsto x^2,\\ F(a_2\le b_2)& :x\mapsto x^3,& F(a_0\le b_2)& :x\mapsto x^4.\end{array}$$

$\mathbf{FinSet}$ における $F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$（いずれも同型を除いて一意に定まる有限集合）の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。