圏論の問題

有限集合（空集合を含む）を対象とし、それらの間のすべての写像を射とする圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$1=\{\ast \}$ を 1 点集合とし、有限集合 $A$ の要素の個数を $|A|$ で表す。

関手 $F:\mathbf{FinSet}\to \mathbf{FinSet}$ が右随伴 $G:\mathbf{FinSet}\to \mathbf{FinSet}$ をもつ（$F⊣G$）とする。すなわち、すべての有限集合 $X,Y$ に対して、$X,Y$ について自然な全単射
$$\mathrm{Hom}(F(X),Y)\cong \mathrm{Hom}(X,G(Y))$$
が与えられているとする。

このとき、すべての有限集合 $X$ に対して
$$|F(X)|=|F(1)|\cdot |X|$$
が成り立つことを示せ。

集合 $A,B$ と全射 $f:A\to B$ の組 $(A,B,f)$ を対象とし、$(A,B,f)$ から $(A^{\prime },B^{\prime },f^{\prime })$ への射を $f^{\prime }\circ u=v\circ f$ を満たす写像の組 $(u,v)$（$u:A\to A^{\prime },v:B\to B^{\prime }$）とし、合成を成分ごとに行う圏を $\mathbf{Surj}$ とする。

次のスケッチ $\mathcal{S}$ を考える。
- グラフ: 頂点は $A,B,K$、辺は $f:A\to B$、$k_1,k_2:K\to A$ の 3 本。
- 可換であるべき図式: なし。
- 錐 $(\mathrm{L})$（$f$ と $f$ の引き戻し）: 頂点 $K$、脚 $k_1,k_2$。
- 余錐 $(\mathrm{C})$（$k_1,k_2$ の余等化子）: 頂点 $B$、底の図式は平行な 2 辺 $k_1,k_2:K\to A$、脚は $f:A\to B$。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺に写像 $M(f):M(A)\to M(B)$、$M(k_1),M(k_2):M(K)\to M(A)$ を対応させたもので、次の 2 条件を満たすものとする。
- （錐の条件）写像 $x\mapsto (M(k_1)(x),M(k_2)(x))$ が、$M(K)$ から
$${\Lambda }^M=\{(a,a^{\prime })\in M(A)\times M(A)\mid M(f)(a)=M(f)(a^{\prime })\}$$
への全単射である。
- （余錐の条件）$M(f)\circ M(k_1)=M(f)\circ M(k_2)$ であり、さらに任意の集合 $Z$ と $g\circ M(k_1)=g\circ M(k_2)$ を満たす任意の写像 $g:M(A)\to Z$ に対して、$w\circ M(f)=g$ を満たす写像 $w:M(B)\to Z$ がただ 1 つ存在する。

$M(f)$ が全射であることはモデルの条件に含めていない（上の 2 条件から導かれることも、示すべきことの一部である）。

モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)(w=A,B,K)$ で、3 本の辺 $e:w\to w^{\prime }$ すべてについて $N(e)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(e)$ を満たすものとし、合成は成分ごとに行う。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

対応 $\Phi (M)=(M(A),M(B),M(f))$、$\Phi (\alpha )=({\alpha }_A,{\alpha }_B)$ が関手 $\Phi :\mathbf{Mod}(\mathcal{S})\to \mathbf{Surj}$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。

集合 $X$ とその上の同値関係 $\sim$ の組 $(X,\sim )$ を対象とし、$(X,\sim )$ から $(X^{\prime },{\sim }^{\prime })$ への射を「$x\sim y$ ならば $h(x){\sim }^{\prime }h(y)$」を満たす写像 $h:X\to X^{\prime }$ とする圏を $\mathbf{Eq}$ とする。

この問題では、有限極限スケッチを次のように定める。グラフ $G$（頂点・辺と各辺の始点・終点）、$G$ の道の等式の集合、錐の集合の組であり、各錐は、頂点 $v$、$v$ を始点とする辺の有限列 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$（${\lambda }_j$ の終点を $w_j$ とする）、および「$f(y_j)=g(y_k)$」の形の制約（$y_j$ は $j$ 番目の脚 ${\lambda }_j$ に対応する変数、$f,g$ は $w_j,w_k$ をそれぞれ始点とし同じ終点をもつ辺）の有限集合からなる。

次のスケッチ $\mathcal{S}$ を考える。
- 頂点: $V,R,P,Q$。
- 辺（9 本）: $s,t:R\to V$、$\rho :V\to R$、$\sigma :R\to R$、${\pi }_1,{\pi }_2:P\to R$、$c:P\to R$、$q_1,q_2:Q\to R$。
- 道の等式（${\mathrm{id}}_V$ は長さ 0 の道）:
$$\begin{array}{rl}& (\mathrm{E}1)s\circ \rho ={\mathrm{id}}_V,(\mathrm{E}2)t\circ \rho ={\mathrm{id}}_V,(\mathrm{E}3)s\circ \sigma =t,(\mathrm{E}4)t\circ \sigma =s,\\ & (\mathrm{E}5)s\circ c=s\circ {\pi }_1,(\mathrm{E}6)t\circ c=t\circ {\pi }_2,(\mathrm{E}7)q_1=q_2.\end{array}$$
- 錐: $({\mathrm{L}}_P)$ 頂点 $P$、脚 ${\pi }_1,{\pi }_2$（この順に $y_1,y_2$ に対応する）、制約 $t(y_1)=s(y_2)$（$t$ と $s$ の引き戻し）。$({\mathrm{L}}_Q)$ 頂点 $Q$、脚 $q_1,q_2$（この順に $y_1,y_2$ に対応する）、制約 $s(y_1)=s(y_2)$ と $t(y_1)=t(y_2)$。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺 $f:w\to w^{\prime }$ に写像 $M(f):M(w)\to M(w^{\prime })$ を対応させたもので、(E1)〜(E7) が写像の等式として成り立ち（${\mathrm{id}}_V$ は恒等写像と読む）、各錐について、写像 $x\mapsto (M({\lambda }_1)(x),\dots ,M({\lambda }_n)(x))$ が $M(v)$ から
$${\Lambda }^M=\{(y_1,\dots ,y_n)\in M(w_1)\times \cdots \times M(w_n)\mid \text{すべての制約 }M(f)(y_j)=M(g)(y_k)\text{ が成り立つ}\}$$
への全単射であるものとする。$M(s),M(t)$ の組が単射であること（$M(R)$ を $M(V)\times M(V)$ の部分集合とみなせること）はモデルの条件に含めていないが、錐 $({\mathrm{L}}_Q)$ と (E7) から導かれる。モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)(w=V,R,P,Q)$ で、9 本の辺 $f:w\to w^{\prime }$ すべてについて $N(f)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとに行う。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

モデル $M$ に対し、$M(V)$ 上の関係 ${\sim }_M$ を「$x{\sim }_{M}y⟺M(s)(r)=x,M(t)(r)=y$ を満たす $r\in M(R)$ が存在する」で定め、$\Phi (M)=(M(V),{\sim }_M)$、モデルの射 $\alpha$ に対し $\Phi (\alpha )={\alpha }_V$ とおく。$\Phi$ が関手 $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})\to \mathbf{Eq}$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

3 つの元 $a,b,c$ からなる集合に、$a\le c$, $b\le c$ と反射律だけで定まる半順序を入れた半順序集合を $\mathcal{P}$ とする（$a$ と $b$ は比較できない）。また $[2]=\{0,1,2\}$ を通常の大小関係 $0<1<2$ による全順序集合とし、これらを上のように圏とみなす。

関手 $\mathcal{P}\to [2]$ を対象とし、それらのあいだの自然変換を射とする関手圏 $[\mathcal{P},[2]]$ を考える。この関手圏の射（自然変換）の総数を求めよ。ただし恒等自然変換も射として数える。

集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、関手 $F,G:\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。

- $F(X)$ は、$X$ の部分集合のうち要素の個数が $1$ または $2$ であるもの全体とし、写像 $f:X\to X^{\prime }$ に対して $F(f)(S)=f(S)=\{f(s):s\in S\}$ とする（$f(S)$ の要素の個数は $1$ または $2$ なので $F(f)(S)\in F(X^{\prime })$ である）。
- $\mathcal{P}(X)$ を $X$ の部分集合全体とし、$G(X)=\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$（$X$ の部分集合からなる集合族全体）とする。写像 $f:X\to X^{\prime }$ に対して
$$G(f)(\mathcal{A})=\{f(S):S\in \mathcal{A}\}(\mathcal{A}\in G(X))$$
とする。

自然変換 $F\Rightarrow G$ の個数を求めよ。