圏論の問題

集合 $X$ とその上の同値関係 $\sim$ の組 $(X,\sim )$ を対象とし、$(X,\sim )$ から $(X^{\prime },{\sim }^{\prime })$ への射を「$x\sim y$ ならば $h(x){\sim }^{\prime }h(y)$」を満たす写像 $h:X\to X^{\prime }$ とする圏を $\mathbf{Eq}$ とする。

この問題では、有限極限スケッチを次のように定める。グラフ $G$（頂点・辺と各辺の始点・終点）、$G$ の道の等式の集合、錐の集合の組であり、各錐は、頂点 $v$、$v$ を始点とする辺の有限列 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$（${\lambda }_j$ の終点を $w_j$ とする）、および「$f(y_j)=g(y_k)$」の形の制約（$y_j$ は $j$ 番目の脚 ${\lambda }_j$ に対応する変数、$f,g$ は $w_j,w_k$ をそれぞれ始点とし同じ終点をもつ辺）の有限集合からなる。

次のスケッチ $\mathcal{S}$ を考える。
- 頂点: $V,R,P,Q$。
- 辺（9 本）: $s,t:R\to V$、$\rho :V\to R$、$\sigma :R\to R$、${\pi }_1,{\pi }_2:P\to R$、$c:P\to R$、$q_1,q_2:Q\to R$。
- 道の等式（${\mathrm{id}}_V$ は長さ 0 の道）:
$$\begin{array}{rl}& (\mathrm{E}1)s\circ \rho ={\mathrm{id}}_V,(\mathrm{E}2)t\circ \rho ={\mathrm{id}}_V,(\mathrm{E}3)s\circ \sigma =t,(\mathrm{E}4)t\circ \sigma =s,\\ & (\mathrm{E}5)s\circ c=s\circ {\pi }_1,(\mathrm{E}6)t\circ c=t\circ {\pi }_2,(\mathrm{E}7)q_1=q_2.\end{array}$$
- 錐: $({\mathrm{L}}_P)$ 頂点 $P$、脚 ${\pi }_1,{\pi }_2$（この順に $y_1,y_2$ に対応する）、制約 $t(y_1)=s(y_2)$（$t$ と $s$ の引き戻し）。$({\mathrm{L}}_Q)$ 頂点 $Q$、脚 $q_1,q_2$（この順に $y_1,y_2$ に対応する）、制約 $s(y_1)=s(y_2)$ と $t(y_1)=t(y_2)$。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺 $f:w\to w^{\prime }$ に写像 $M(f):M(w)\to M(w^{\prime })$ を対応させたもので、(E1)〜(E7) が写像の等式として成り立ち（${\mathrm{id}}_V$ は恒等写像と読む）、各錐について、写像 $x\mapsto (M({\lambda }_1)(x),\dots ,M({\lambda }_n)(x))$ が $M(v)$ から
$${\Lambda }^M=\{(y_1,\dots ,y_n)\in M(w_1)\times \cdots \times M(w_n)\mid \text{すべての制約 }M(f)(y_j)=M(g)(y_k)\text{ が成り立つ}\}$$
への全単射であるものとする。$M(s),M(t)$ の組が単射であること（$M(R)$ を $M(V)\times M(V)$ の部分集合とみなせること）はモデルの条件に含めていないが、錐 $({\mathrm{L}}_Q)$ と (E7) から導かれる。モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)(w=V,R,P,Q)$ で、9 本の辺 $f:w\to w^{\prime }$ すべてについて $N(f)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとに行う。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

モデル $M$ に対し、$M(V)$ 上の関係 ${\sim }_M$ を「$x{\sim }_{M}y⟺M(s)(r)=x,M(t)(r)=y$ を満たす $r\in M(R)$ が存在する」で定め、$\Phi (M)=(M(V),{\sim }_M)$、モデルの射 $\alpha$ に対し $\Phi (\alpha )={\alpha }_V$ とおく。$\Phi$ が関手 $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})\to \mathbf{Eq}$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。

集合 $X$ と二項演算 $X\times X\to X,(x,y)\mapsto x\ast y$ と元 $e\in X$ の組 $(X,\ast ,e)$ で、すべての $x,y\in X$ に対して $x\ast y=y\ast x$ かつ $e\ast x=x$ を満たすものを単位的可換マグマという（結合法則は仮定しない）。$(X,\ast ,e)$ から $(X^{\prime },{\ast }^{\prime },e^{\prime })$ への射を、$h(x\ast y)=h(x){\ast }^{\prime }h(y)$ と $h(e)=e^{\prime }$ を満たす写像 $h:X\to X^{\prime }$ とし、この圏を $\mathbf{CUMag}$ とする。

次の有限積スケッチ $\mathcal{S}$ を考える。
- グラフ: 頂点は $1,A,P$ の 3 つ。辺は
$$p_1,p_2:P\to A,m:P\to A,t:P\to P,u:1\to A,k:A\to 1,r:A\to P$$
の 7 本。
- 可換であるべき図式（道の等式。${\mathrm{id}}_A$ は長さ 0 の道）:
$$p_1\circ t=p_2,p_2\circ t=p_1,m\circ t=m,p_1\circ r={\mathrm{id}}_A,p_2\circ r=u\circ k,m\circ r={\mathrm{id}}_A.$$
- 錐: 頂点 $1$ をもつ空の図式上の錐 ${\lambda }_0$ と、頂点 $P$ をもち 2 つの頂点 $A,A$ からなる離散図式上の錐 ${\lambda }_2=(p_1,p_2)$ の 2 つ。

$\mathcal{S}$ の（集合の圏 $\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $v$ に集合 $M(v)$ を、各辺 $f:v\to w$ に写像 $M(f):M(v)\to M(w)$ を対応させたもので、上の 6 つの等式が写像の等式として成り立ち（${\mathrm{id}}_A$ は $M(A)$ の恒等写像と読む）、錐 ${\lambda }_0,{\lambda }_2$ を $\mathbf{Set}$ の極限錐に移すものとする。すなわち $M(1)$ は 1 点集合であり、写像 $c_M=(M(p_1),M(p_2)):M(P)\to M(A)\times M(A)$ は全単射である。モデル $M$ から $N$ への射とは、写像の族 ${\alpha }_v:M(v)\to N(v)(v=1,A,P)$ で、すべての辺 $f:v\to w$ に対して $N(f)\circ {\alpha }_v={\alpha }_w\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとの合成で定める。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

モデル $M$ に対して $M(1)=\{{\ast }_M\}$ とし、$M(A)$ 上の演算と元を
$$x\ast y=M(m)(c_M^{-1}(x,y)),e=M(u)({\ast }_M)$$
で定め、モデルの射 $\alpha$ に ${\alpha }_A$ を対応させる。この対応 $\Phi$ が関手 $\Phi :\mathbf{Mod}(\mathcal{S})\to \mathbf{CUMag}$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。

この問題では、環は可換で単位元 $1$ をもち、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。$1\ne 0$ であって $0$ 以外のすべての元が乗法の逆元をもつ可換環を体といい、体を対象、環準同型を射とする圏を $\mathbf{Field}$ とする。

有限極限スケッチ $\mathcal{S}=(G,D,L)$ とは、次の組のことをいう。
- $G$ は（有向）グラフ（頂点の集合と辺の集合、各辺の始点と終点）。
- $D$ は、始点と終点が同じである $G$ の道（長さ 0 の道を含む）の組 $(\sigma ,\tau )$ の集合。
- $L$ は錐の集合。各錐は、頂点 $v$、有限グラフ $I$ とグラフの準同型 $\delta :I\to G$、および $I$ の各頂点 $i$ に対する $G$ の辺 ${\lambda }_i:v\to \delta (i)$ からなる。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、$G$ の各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺 $f:w\to w^{\prime }$ に写像 $M(f):M(w)\to M(w^{\prime })$ を対応させたもので、次の 2 条件を満たすものとする。
- $D$ の各組 $(\sigma ,\tau )$ について、道に沿った写像の合成が等しい（長さ 0 の道は恒等写像と読む）。
- $L$ の各錐 $(v,\delta ,({\lambda }_i))$ について、$I$ の頂点 $i$ にわたる直積の部分集合
$$\Lambda =\{(x_i{)}_i\in \prod _{i}M(\delta (i))|I\text{ の各辺 }a:i\to j\text{ について }M(\delta (a))(x_i)=x_j\}$$
を考えたとき、写像 $x\mapsto (M({\lambda }_i)(x){)}_i$ が $M(v)$ から $\Lambda$ への全単射である（$I$ の頂点がないとき ${\prod }_{i}M(\delta (i))$ は 1 点集合とする）。

モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)$（$w$ は $G$ の頂点全体を動く）で、$G$ のすべての辺 $f:w\to w^{\prime }$ について $N(f)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとの合成で定める。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

どのような有限極限スケッチ $\mathcal{S}$ に対しても、$\mathbf{Field}$ は $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ と圏同値でないことを証明せよ。ただし、圏同値を与える関手は充満忠実かつ本質的全射であることは用いてよい。

この問題で有向グラフ $X$ とは、頂点の集合 $X_V$、辺の集合 $X_E$、始点写像 $s_X:X_E\to X_V$、終点写像 $t_X:X_E\to X_V$ の組のことをいう（ループや多重辺を許す）。有向グラフの射 $\phi :X\to Y$ とは、写像の組 ${\phi }_V:X_V\to Y_V$, ${\phi }_E:X_E\to Y_E$ で $s_Y\circ {\phi }_E={\phi }_V\circ s_X$, $t_Y\circ {\phi }_E={\phi }_V\circ t_X$ を満たすものとする。有向グラフとその射のなす圏を $\mathbf{Grph}$ とする。$\mathbf{Grph}$ は、対象 $V,E$ と $2$ 本の射 $V\rightrightarrows E$ からなる小さい圏の上の前層の圏と同値であり、カルテシアン閉圏である。すなわち各対象 $Y$ について関手 $-\times Y$ は右随伴 $(-{)}^Y$ をもつ。

次の $3$ つの有向グラフを考える。
- $P$: 頂点 $p_0,p_1$ と、辺 $p_0\to p_1$, $p_1\to p_0$ の $2$ 本からなる。
- $T$: 頂点 $q_0,q_1,q_2$ と、辺 $q_0\to q_1$, $q_1\to q_2$, $q_2\to q_0$ の $3$ 本からなる。
- $Z$: 頂点 $1,2,3$ と、辺 $1\to 1$（ループ）, $1\to 2$, $2\to 3$, $3\to 1$ の $4$ 本からなる。

ここで $a\to b$ は始点 $a$、終点 $b$ の辺を表す。指数対象 $Z^T$ をとるとき、hom 集合 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Grph}}(P,Z^T)$ の要素の個数を求めよ。

$G$ を有限群（単位元 $e$）とし、$n$ を正の整数とする。有限集合 $X$ と左作用 $G\times X\to X,(g,x)\mapsto gx$ の組を有限左 $G$ 集合といい、有限左 $G$ 集合を対象、$G$ 同変写像（$t(gx)=gt(x)$ をみたす写像 $t$）を射とする圏を $\mathcal{C}$ とする。

忘却関手 $U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$（$G$ 集合をその台集合に、$G$ 同変写像を写像そのものに送る）と、関手 $U^n:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$ を
$$U^n(X)=X^n=\underset{n}{\underbrace{X\times \cdots \times X}},U^n(t)(x_1,\dots ,x_n)=(t(x_1),\dots ,t(x_n))$$
で定める。$U^n$ から $U$ への自然変換全体の集合を $\mathrm{Nat}(U^n,U)$ とするとき、
$$|\mathrm{Nat}(U^n,U)|=n|G|$$
であることを示せ。

ただし、次の米田の補題は用いてよい: 圏 $\mathcal{D}$ の対象 $A$ と関手 $F:\mathcal{D}\to \mathbf{Set}$ に対し、$\alpha \mapsto {\alpha }_A({\mathrm{id}}_A)$ は $\mathrm{Nat}({\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(A,-),F)$ から $F(A)$ への全単射である。