圏論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル証明問題大学院数学圏論

集合 $X$ と二項演算 $X \times X \to X, (x, y) \mapsto x * y$ と元 $e \in X$ の組 $(X, *, e)$ で、すべての $x, y \in X$ に対して $x * y = y * x$ かつ $e * x = x$ を満たすものを単位的可換マグマという（結合法則は仮定しない）。 $(X, *, e)$ から $(X^{'}, *^{'}, e^{'})$ への射を、 $h (x * y) = h (x) *^{'} h (y)$ と $h (e) = e^{'}$ を満たす写像 $h : X \to X^{'}$ とし、この圏を $CUMag$ とする。

次の有限積スケッチ $S$ を考える。
- グラフ: 頂点は $1, A, P$ の 3 つ。辺は
$p_{1}, p_{2} : P \to A, m : P \to A, t : P \to P, u : 1 \to A, k : A \to 1, r : A \to P$
の 7 本。
- 可換であるべき図式（道の等式。 $id_{A}$ は長さ 0 の道）:
$p_{1} \circ t = p_{2}, p_{2} \circ t = p_{1}, m \circ t = m, p_{1} \circ r = id_{A}, p_{2} \circ r = u \circ k, m \circ r = id_{A} .$
- 錐: 頂点 $1$ をもつ空の図式上の錐 $λ_{0}$ と、頂点 $P$ をもち 2 つの頂点 $A, A$ からなる離散図式上の錐 $λ_{2} = (p_{1}, p_{2})$ の 2 つ。

$S$ の（集合の圏 $Set$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $v$ に集合 $M (v)$ を、各辺 $f : v \to w$ に写像 $M (f) : M (v) \to M (w)$ を対応させたもので、上の 6 つの等式が写像の等式として成り立ち（ $id_{A}$ は $M (A)$ の恒等写像と読む）、錐 $λ_{0}, λ_{2}$ を $Set$ の極限錐に移すものとする。すなわち $M (1)$ は 1 点集合であり、写像 $c_{M} = (M (p_{1}), M (p_{2})) : M (P) \to M (A) \times M (A)$ は全単射である。モデル $M$ から $N$ への射とは、写像の族 $α_{v} : M (v) \to N (v) (v = 1, A, P)$ で、すべての辺 $f : v \to w$ に対して $N (f) \circ α_{v} = α_{w} \circ M (f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとの合成で定める。この圏を $Mod (S)$ とする。

モデル $M$ に対して $M (1) = {*_{M}}$ とし、 $M (A)$ 上の演算と元を
$x * y = M (m) (c_{M}^{- 1} (x, y)), e = M (u) (*_{M})$
で定め、モデルの射 $α$ に $α_{A}$ を対応させる。この対応 $Φ$ が関手 $Φ : Mod (S) \to CUMag$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。

この問題で使うもの

関手と関手の数え上げ（説明と入口の問題）
有限集合の圏の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（9 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず $Φ (M)$ が本当に単位的可換マグマになり、 $α_{A}$ が射になることを確かめ、そのあと忠実・充満・本質的全射の 3 つを順に示す。

ヒント 2

全単射 $c_{M} = (M (p_{1}), M (p_{2}))$ を通して、 $M (t)$ は成分の入れ替え $(x, y) \mapsto (y, x)$ 、 $M (r)$ は $x \mapsto (x, e)$ に対応することを最初に示しておくと、各条件の確認が機械的になる。モデルの射については $c_{N} \circ α_{P} = (α_{A} \times α_{A}) \circ c_{M}$ が鍵になる。

ヒント 3

$m \circ t = m$ から $x * y = y * x$ 、 $m \circ r = id_{A}$ から $x * e = x$ が出る。忠実性は、 $α_{1}$ が 1 点集合への写像であることと、 $c_{N}$ の単射性から $α_{P}$ が $α_{A}$ で決まることから従う。充満性では $α_{P} = c_{N}^{- 1} \circ (h \times h) \circ c_{M}$ とおいてみる。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

全単射 $c_{M}$ を通して $M (t)$ が成分の入れ替え、 $M (r)$ が $x \mapsto (x, e)$ に対応することを、等式 $p_{i} \circ t$ ・ $p_{i} \circ r$ と $M (1)$ が 1 点集合であることから導いている（2 点）
$m \circ t = m$ から可換性、 $m \circ r = id_{A}$ から単位元の条件を導いて $Φ (M) \in CUMag$ を示し、さらに $c_{N} \circ α_{P} = (α_{A} \times α_{A}) \circ c_{M}$ を用いて $α_{A}$ が演算と単位元を保つことを示している（2 点）
忠実性を、 $α_{1}$ が一意に決まることと $c_{N}$ の単射性から $α_{P}$ が $α_{A}$ で決まることを用いて示している（2 点）
充満性で $α_{P} = c_{N}^{- 1} \circ (h \times h) \circ c_{M}$ のように射を構成し、7 本すべての辺について可換性を確かめている（とくに $m, u, t, r$ で $h$ が準同型であることを使っている）（2 点）
本質的全射性で $M_{X} (P) = X \times X$ などとして具体的なモデルを作り、6 つの等式と 2 つの錐の条件を確かめ、 $Φ (M_{X})$ がもとの構造と同型（実際は一致）であることを示している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

モデル $M$ について $X = M (A)$ 、 $c = c_{M}$ と書く。 $c$ は全単射、 $M (1) = {*_{M}}$ は 1 点集合である。

補題. $z \in M (P)$ に対し $c (z) = (x, y)$ ならば、 $c (M (t) (z)) = (y, x)$ 。また $x \in X$ に対し $c (M (r) (x)) = (x, e)$ 。

（証明）等式 $p_{1} \circ t = p_{2}, p_{2} \circ t = p_{1}$ より $M (p_{1}) (M (t) (z)) = M (p_{2}) (z) = y$ 、 $M (p_{2}) (M (t) (z)) = M (p_{1}) (z) = x$ 。また $p_{1} \circ r = id_{A}$ より $M (p_{1}) (M (r) (x)) = x$ 、 $p_{2} \circ r = u \circ k$ より $M (p_{2}) (M (r) (x)) = M (u) (M (k) (x))$ であり、 $M (k) (x) \in M (1) = {*_{M}}$ なので $M (k) (x) = *_{M}$ 、よってこれは $M (u) (*_{M}) = e$ 。 $□$

(1) $Φ (M)$ が単位的可換マグマであること。 $c$ が全単射なので $x * y$ は well-defined である。 $x, y \in X$ に対し $z = c^{- 1} (x, y)$ とおくと、補題より $c^{- 1} (y, x) = M (t) (z)$ 。等式 $m \circ t = m$ より
$y * x = M (m) (M (t) (z)) = M (m) (z) = x * y .$
また補題より $c^{- 1} (x, e) = M (r) (x)$ なので、等式 $m \circ r = id_{A}$ より $x * e = M (m) (M (r) (x)) = x$ 。可換性と合わせて $e * x = x * e = x$ 。よって $Φ (M) \in CUMag$ 。

(2) $Φ (α) = α_{A}$ が $CUMag$ の射であること。 $α : M \to N$ をモデルの射とする。 $N (1)$ は 1 点集合なので $α_{1} (*_{M}) = *_{N}$ 。辺 $u$ についての等式 $N (u) \circ α_{1} = α_{A} \circ M (u)$ より $α_{A} (e_{M}) = N (u) (*_{N}) = e_{N}$ 。次に辺 $p_{1}, p_{2}$ についての等式 $N (p_{i}) \circ α_{P} = α_{A} \circ M (p_{i})$ より
$c_{N} \circ α_{P} = (α_{A} \times α_{A}) \circ c_{M} (* *)$
が成り立つ。 $x, y \in M (A)$ 、 $z = c_{M}^{- 1} (x, y)$ とすると $(* *)$ より $c_{N} (α_{P} (z)) = (α_{A} (x), α_{A} (y))$ 。辺 $m$ についての等式から
$α_{A} (x * y) = α_{A} (M (m) (z)) = N (m) (α_{P} (z)) = α_{A} (x) * α_{A} (y) .$
よって $α_{A}$ は $CUMag$ の射。合成と恒等射は成分ごとなので $Φ (β \circ α) = β_{A} \circ α_{A}$ 、 $Φ (id_{M}) = id_{M (A)}$ であり、 $Φ$ は関手である。

(3) 忠実性. $α, β : M \to N$ で $α_{A} = β_{A}$ とする。 $N (1)$ は 1 点集合なので $α_{1} = β_{1}$ 。 $(* *)$ より $c_{N} \circ α_{P} = (α_{A} \times α_{A}) \circ c_{M} = c_{N} \circ β_{P}$ であり、 $c_{N}$ は単射なので $α_{P} = β_{P}$ 。よって $α = β$ 。

(4) 充満性. $h : Φ (M) \to Φ (N)$ を $CUMag$ の射とする。
$α_{A} = h, α_{1} (*_{M}) = *_{N}, α_{P} = c_{N}^{- 1} \circ (h \times h) \circ c_{M}$
とおき、7 本の辺すべてについて $N (f) \circ α_{v} = α_{w} \circ M (f)$ を確かめる。 $P$ への値の比較では $c_{N}$ が単射なので $c_{N}$ を施した値を比べればよい。以下 $x \in M (A)$ 、 $z \in M (P)$ 、 $c_{M} (z) = (x_{1}, x_{2})$ とする。
- $p_{1}, p_{2}$ : $α_{P}$ の定義より $c_{N} (α_{P} (z)) = (h (x_{1}), h (x_{2}))$ なので $N (p_{i}) (α_{P} (z)) = h (x_{i}) = α_{A} (M (p_{i}) (z))$ 。
- $m$ : $N (m) (α_{P} (z)) = h (x_{1}) * h (x_{2}) = h (x_{1} * x_{2}) = α_{A} (M (m) (z))$ （ $h$ が演算を保つことを用いた）。
- $t$ : 補題より $c_{N} (N (t) (α_{P} (z))) = (h (x_{2}), h (x_{1}))$ 、一方 $c_{N} (α_{P} (M (t) (z))) = (h \times h) (x_{2}, x_{1}) = (h (x_{2}), h (x_{1}))$ 。
- $u$ : $α_{A} (M (u) (*_{M})) = h (e_{M}) = e_{N} = N (u) (α_{1} (*_{M}))$ （ $h$ が単位元を保つことを用いた）。
- $k$ : 両辺とも 1 点集合 $N (1)$ への写像なので一致する。
- $r$ : 補題より $c_{N} (N (r) (h (x))) = (h (x), e_{N})$ 、一方 $c_{N} (α_{P} (M (r) (x))) = (h \times h) (x, e_{M}) = (h (x), h (e_{M})) = (h (x), e_{N})$ 。

よって $α$ はモデルの射で、 $Φ (α) = h$ 。

(5) 本質的全射性. $(X, *, e) \in CUMag$ に対し、 $M_{X} (1) = {*}$ 、 $M_{X} (A) = X$ 、 $M_{X} (P) = X \times X$ とし、
$M_{X} (p_{i}) (x_{1}, x_{2}) = x_{i}, M_{X} (m) (x, y) = x * y, M_{X} (t) (x, y) = (y, x), M_{X} (u) (*) = e, M_{X} (k) (x) = *, M_{X} (r) (x) = (x, e)$
と定める。6 つの等式を確かめる: $p_{1} \circ t$ と $p_{2}$ はともに $(x, y) \mapsto y$ 、 $p_{2} \circ t$ と $p_{1}$ はともに $(x, y) \mapsto x$ 、 $m \circ t$ は $(x, y) \mapsto y * x = x * y$ （可換性）、 $p_{1} \circ r = id_{X}$ 、 $p_{2} \circ r$ と $u \circ k$ はともに定値写像 $x \mapsto e$ 、 $m \circ r$ は $x \mapsto x * e = e * x = x$ （可換性と単位元の条件）。錐については $M_{X} (1)$ は 1 点集合で、 $c_{M_{X}} = (M_{X} (p_{1}), M_{X} (p_{2}))$ は $X \times X$ の恒等写像なので全単射。よって $M_{X}$ はモデルである。 $c_{M_{X}}$ が恒等写像なので $Φ (M_{X})$ の演算は $M_{X} (m) (x, y) = x * y$ 、単位元は $M_{X} (u) (*) = e$ となり、 $Φ (M_{X}) = (X, *, e)$ である。特に同型 $Φ (M_{X}) ≅ (X, *, e)$ がある。

以上 (1)〜(5) より、 $Φ$ は関手であって充満忠実かつ本質的全射である。用いてよい事実により、 $Φ : Mod (S) \to CUMag$ は圏同値である。 $■$

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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