圏論の問題

対象が $0,1$ の $2$ つで、恒等射以外の射が $i:0\to 1$ の $1$ つだけである圏を $\mathcal{C}$ とする（半順序集合 $\{0<1\}$ を圏とみなしたもの）。$\mathcal{C}$ 上の前層とは関手 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことであり、前層 $X$ は $2$ つの集合 $X(0),X(1)$ と写像 $X(i):X(1)\to X(0)$ で決まる。前層の射とは前層の間の自然変換のことである。

前層 $X,Y$ を次で定める。
- $X(1)=\{a,b,c\}$、$X(0)=\{u,v\}$、$X(i)(a)=X(i)(b)=u$、$X(i)(c)=v$
- $Y(1)=\{1,2,3,4,5\}$、$Y(0)=\{p,q,r\}$、$Y(i)(1)=Y(i)(2)=p$、$Y(i)(3)=Y(i)(4)=Y(i)(5)=q$

前層の射 $X\to Y$ の個数を求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=\{1,2,3,\dots ,20\}$, $B=\{0,1,2,3,4,5\}$ とし、写像 $f,g:A\to B$ を
$$f(a)=(a\text{ を }6\text{ で割った余り}),g(a)=(a\text{ を }4\text{ で割った余り})$$
で定める。$\mathbf{FinSet}$ における $f$ と $g$ の等化子を $e:E\to A$ とするとき、集合 $E$ の要素の個数 $|E|$ を求めよ。

集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、$[3]=\{1,2,3\}$ とおく。関手 $F,G:\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。

• $F(X)$ は、$X^3$ に「$(x_1,x_2,x_3)\sim (x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)})$（$\sigma$ は $[3]$ の置換）」という同値関係を入れた商集合 $X^3/\sim$（$X$ の元を重複を許して $3$ 個選んだ組の全体）とする。写像 $f:X\to Y$ に対して $F(f)$ は $[(x_1,x_2,x_3)]\mapsto [(f(x_1),f(x_2),f(x_3))]$ とする。
• $G(X)=\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$（$X$ の部分集合からなる族の全体）とする。写像 $f:X\to Y$ に対して $G(f)$ は $\mathcal{A}\mapsto \{f(A)\mid A\in \mathcal{A}\}$ とする。ここで $f(A)=\{f(a)\mid a\in A\}$ である。

$F$ から $G$ への自然変換の個数を求めよ。

$12$ の正の約数全体 $P=\{1,2,3,4,6,12\}$ を整除関係 $d\mid e$ で順序づけた半順序集合とみなし、これを圏 $\mathcal{P}$ とする（対象は $P$ の元で、$d\mid e$ のときに限り $d$ から $e$ への射がちょうど 1 本ある）。

共変関手 $F:\mathcal{P}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。各 $d\in P$ に対し
$$F(d)=\{(a,b)\mid a,b\text{ は }d\text{ の正の約数で }a\mid b\}$$
とし、$d\mid e$ の射に対しては包含写像 $F(d)\hookrightarrow F(e)$ を対応させる。

表現可能関手 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{P}}(6,-):\mathcal{P}\to \mathbf{Set}$ から $F$ への自然変換の個数を求めよ。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

$2=\{0,1\}$（$0<1$）と $4=\{0,1,2,3\}$（$0<1<2<3$）を通常の大小関係による全順序集合とし、上のようにして圏とみなす。関手圏 $[2,4]$ を、対象が関手 $2\to 4$、射が関手の間の自然変換、合成が自然変換の各成分ごとの合成である圏とする。

関手圏 $[2,4]$ の射の総数（恒等自然変換も含める）を求めよ。