圏論の問題

方針. $\mathbf{FinSet}$ での等化子を普遍性から具体的な集合として求め、その要素を数える。

1. 等化子の構成. $E_0=\{a\in A\mid f(a)=g(a)\}$ とし、$e_0:E_0\to A$ を包含写像とする。$f\circ e_0=g\circ e_0$ は定義から成り立つ。任意の有限集合 $Z$ と写像 $h:Z\to A$ で $f\circ h=g\circ h$ を満たすものに対し、各 $z\in Z$ で $f(h(z))=g(h(z))$ なので $h(z)\in E_0$ であり、$h$ は $E_0$ を経由する写像 $\bar{h}:Z\to E_0$ に一意に分解する（$e_0$ が単射なので一意）。よって $(E_0,e_0)$ は等化子である。等化子は同型を除いて一意なので $|E|=|E_0|$。

2. 条件を調べる. $f(a)=g(a)=r$ とすると、$r$ は $4$ で割った余りなので $0\le r\le 3$ であり、$a\equiv r(\mathrm{mod}6)$ かつ $a\equiv r(\mathrm{mod}4)$ である。$6$ と $4$ の最小公倍数は $12$ なので、これは $a\equiv r(\mathrm{mod}12)$ と同じである。逆に $a\equiv r(\mathrm{mod}12)$（$0\le r\le 3$）なら、$a$ を $6$ で割った余りも $4$ で割った余りも $r$ になる。よって
$$E_0=\{a\in A\mid a\text{ を }12\text{ で割った余りが }0,1,2,3\text{ のいずれか}\}.$$

3. 数える. $1\le a\le 20$ で該当するのは
- 余り $0$: $12$
- 余り $1$: $1,13$
- 余り $2$: $2,14$
- 余り $3$: $3,15$

の $1+2+2+2=7$ 個。

したがって $|E|=7$ である。

$\mathbf{FinSet}$ における等化子は $E=\{a\in A\mid f(a)=g(a)\}$ と包含写像 $e:E\hookrightarrow A$ である（等化子は同型を除いて一意だが、元の個数は不変）。よって $f(a)=g(a)$ となる $a\in \{1,\dots ,20\}$ を数える。

$a$ を 6 で割った余りと 4 で割った余りが等しい値を $r$ とすると、$r\in \{0,1,2,3\}$（4 の余りは 3 以下）で、$a-r$ が 6 と 4 の両方で割り切れる、すなわち $12\mid a-r$。$a=12k+r$ で $1\le a\le 20$ を満たすものは、$k=0$: $r=1,2,3$（$r=0$ は $a=0$ で範囲外）→ $a=1,2,3$、$k=1$: $r=0,1,2,3$ → $a=12,13,14,15$。$k=2$ は $a\ge 24$ で範囲外。

検算（全数確認）: $a=1,2,3$ は余り (1,1),(2,2),(3,3) で一致。$a=4$: (4,0), 5: (5,1), 6: (0,2), 7: (1,3), 8: (2,0), 9: (3,1), 10: (4,2), 11: (5,3) はすべて不一致。$a=12$: (0,0), 13: (1,1), 14: (2,2), 15: (3,3) は一致。16: (4,0), 17: (5,1), 18: (0,2), 19: (1,3), 20: (2,0) は不一致。一致するのは $1,2,3,12,13,14,15$ の 7 個。よって $|E|=7$。