圏論の問題

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=\{1,2,3,\dots ,20\}$, $B=\{0,1,2,3,4,5\}$ とし、写像 $f,g:A\to B$ を
$$f(a)=(a\text{ を }6\text{ で割った余り}),g(a)=(a\text{ を }4\text{ で割った余り})$$
で定める。$\mathbf{FinSet}$ における $f$ と $g$ の等化子を $e:E\to A$ とするとき、集合 $E$ の要素の個数 $|E|$ を求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=B=\{0,1,2,\dots ,11\}$ とし、写像 $f,g:A\to B$ を
$$f(x)=(x^2\text{ を }12\text{ で割った余り}),g(x)=(3x\text{ を }12\text{ で割った余り})$$
で定める。$\mathbf{FinSet}$ における平行な射の組 $f,g:A\rightrightarrows B$ の余等化子（コイコライザー）$q:B\to Q$ をとるとき、集合 $Q$ の要素の個数を求めよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=B=\{1,2,3,\dots ,10\}$、$C=\{0,1,2\}$ とし、写像 $f:A\to C$, $g:B\to C$ を
$$f(a)=(a\text{を}3\text{で割った余り}),g(b)=(b^2\text{を}3\text{で割った余り})$$
で定める。

$\mathbf{FinSet}$ における $f$ と $g$ の引き戻し（ファイバー積）を $P=A{\times }_{C}B$ とし、その射影を $p_1:P\to A$, $p_2:P\to B$ とする。さらに、スパン $A\stackrel{p_1}{\leftarrow }P\stackrel{p_2}{\to }B$ の $\mathbf{FinSet}$ における押し出しを $Q$ とする。

集合 $P$ の要素の個数と集合 $Q$ の要素の個数を、この順に組 $(|P|,|Q|)$ で答えよ。

集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、$[3]=\{1,2,3\}$ とおく。関手 $F,G:\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。

• $F(X)$ は、$X^3$ に「$(x_1,x_2,x_3)\sim (x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)})$（$\sigma$ は $[3]$ の置換）」という同値関係を入れた商集合 $X^3/\sim$（$X$ の元を重複を許して $3$ 個選んだ組の全体）とする。写像 $f:X\to Y$ に対して $F(f)$ は $[(x_1,x_2,x_3)]\mapsto [(f(x_1),f(x_2),f(x_3))]$ とする。
• $G(X)=\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$（$X$ の部分集合からなる族の全体）とする。写像 $f:X\to Y$ に対して $G(f)$ は $\mathcal{A}\mapsto \{f(A)\mid A\in \mathcal{A}\}$ とする。ここで $f(A)=\{f(a)\mid a\in A\}$ である。

$F$ から $G$ への自然変換の個数を求めよ。

$G=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{0,1,2,3\}$ を $4$ を法とする加法による群とする。対象がただ $1$ つ $\ast$ で、射 $\ast \to \ast$ が $G$ の元、射の合成が $G$ の加法、恒等射が $0$ であるような圏を $\mathbf{B}G$ とする。集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とする。

正方形の $4$ つの頂点に $0,1,2,3$ と番号をつけ、各頂点を赤・青・黄の $3$ 色のいずれかで塗る塗り方（写像 $c:\{0,1,2,3\}\to \{\text{赤},\text{青},\text{黄}\}$）全体の集合を $S$ とする。関手 $F:\mathbf{B}G\to \mathbf{Set}$ を、$F(\ast )=S$ とし、射 $k\in G$ に対して写像 $F(k):S\to S$ を
$$(F(k)(c))(i)=c(i-k)(i\in \{0,1,2,3\},\text{引き算は}4\text{を法とする})$$
で定める（塗り方を $k$ 番だけ回転させる）。

表現可能関手 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{B}G}(\ast ,-):\mathbf{B}G\to \mathbf{Set}$ から $F$ への自然変換の個数を求めよ。