圏論の問題

集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、$[3]=\{1,2,3\}$ とおく。関手 $F,G:\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。

• $F(X)$ は、$X^3$ に「$(x_1,x_2,x_3)\sim (x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)})$（$\sigma$ は $[3]$ の置換）」という同値関係を入れた商集合 $X^3/\sim$（$X$ の元を重複を許して $3$ 個選んだ組の全体）とする。写像 $f:X\to Y$ に対して $F(f)$ は $[(x_1,x_2,x_3)]\mapsto [(f(x_1),f(x_2),f(x_3))]$ とする。
• $G(X)=\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$（$X$ の部分集合からなる族の全体）とする。写像 $f:X\to Y$ に対して $G(f)$ は $\mathcal{A}\mapsto \{f(A)\mid A\in \mathcal{A}\}$ とする。ここで $f(A)=\{f(a)\mid a\in A\}$ である。

$F$ から $G$ への自然変換の個数を求めよ。

モノイドとは単位元をもつ半群のことであり、モノイド準同型は積と単位元を保つ写像とする。モノイドとモノイド準同型のなす圏を $\mathbf{Mon}$、集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とし、忘却関手 $U:\mathbf{Mon}\to \mathbf{Set}$ の左随伴（自由モノイド関手）を $F:\mathbf{Set}\to \mathbf{Mon}$ とする。

$T_3$ を集合 $\{1,2,3\}$ からそれ自身への写像全体が写像の合成を積、恒等写像を単位元としてなすモノイドとし、$X=\{a,b\}$ とする。hom 集合 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Mon}}(F(X),T_3)$ の元の個数を求めよ。

群 $K$ に対し、$K$ が左から作用する集合（左 $K$ 集合）と $K$ 同変写像のなす圏を $K\text{-}\mathbf{Set}$ とする。$K$ の部分群 $L$ に対し、$K/L$ は左剰余類全体の集合に $K$ が左乗法で作用する $K$ 集合とする。

$G=⟨g⟩$ を $g$ で生成される位数 $6$ の巡回群（単位元 $e$）とし、$H=⟨g^3⟩=\{e,g^3\}$ とする。左 $H$ 集合 $X$ を
$$X=\{p\}\bigsqcup H$$
で定める。ここで $H$ は 1 点 $p$ に自明に作用し、$H$ 自身には左乗法で作用する。また、左 $H$ 集合 $X$ に対し、誘導 $G{\times }_{H}X$ を、$G\times X$ を同値関係 $(gh,x)\sim (g,hx)$ $(g\in G,h\in H,x\in X)$ で割った集合に $G$ が $g^{\prime }\cdot [g,x]=[g^{\prime }g,x]$ で作用する左 $G$ 集合とする。

左 $G$ 集合 $Y$ を
$$Y=G/⟨g^2⟩\bigsqcup G/⟨g^3⟩\bigsqcup G$$
で定める（最後の $G$ には $G$ が左乗法で作用する）。$G$ 同変写像 $G{\times }_{H}X\to Y$ の個数を求めよ。

$G=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{0,1,2,3\}$ を $4$ を法とする加法による群とする。対象がただ $1$ つ $\ast$ で、射 $\ast \to \ast$ が $G$ の元、射の合成が $G$ の加法、恒等射が $0$ であるような圏を $\mathbf{B}G$ とする。集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とする。

正方形の $4$ つの頂点に $0,1,2,3$ と番号をつけ、各頂点を赤・青・黄の $3$ 色のいずれかで塗る塗り方（写像 $c:\{0,1,2,3\}\to \{\text{赤},\text{青},\text{黄}\}$）全体の集合を $S$ とする。関手 $F:\mathbf{B}G\to \mathbf{Set}$ を、$F(\ast )=S$ とし、射 $k\in G$ に対して写像 $F(k):S\to S$ を
$$(F(k)(c))(i)=c(i-k)(i\in \{0,1,2,3\},\text{引き算は}4\text{を法とする})$$
で定める（塗り方を $k$ 番だけ回転させる）。

表現可能関手 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbf{B}G}(\ast ,-):\mathbf{B}G\to \mathbf{Set}$ から $F$ への自然変換の個数を求めよ。

$n\ge 0$ を整数とし、$[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなす。対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことで、$X([m])$ の元を $X$ の $m$ 単体とよぶ。$m$ 単体 $x$ が退化しているとは、ある $(m-1)$ 単体 $y$ と全射な広義単調増加写像 $\sigma :[m]\to [m-1]$ があって $x=X(\sigma )(y)$ と書けることをいう（$m\ge 1$ のとき）。

標準 $4$ 単体 ${\Delta }^4={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[4])$ の $2$ 単体のうち、退化しているものの個数を求めよ。