G 集合の圏と誘導の随伴

群 $K$ に対し、$K$ が左から作用する集合（左 $K$ 集合）と $K$ 同変写像のなす圏を $K\text{-}\mathbf{Set}$ とする。$K$ の部分群 $L$ に対し、$K/L$ は左剰余類全体の集合に $K$ が左乗法で作用する $K$ 集合とする。

$G=⟨g⟩$ を $g$ で生成される位数 $6$ の巡回群（単位元 $e$）とし、$H=⟨g^3⟩=\{e,g^3\}$ とする。左 $H$ 集合 $X$ を
$$X=\{p\}\bigsqcup H$$
で定める。ここで $H$ は 1 点 $p$ に自明に作用し、$H$ 自身には左乗法で作用する。また、左 $H$ 集合 $X$ に対し、誘導 $G{\times }_{H}X$ を、$G\times X$ を同値関係 $(gh,x)\sim (g,hx)$ $(g\in G,h\in H,x\in X)$ で割った集合に $G$ が $g^{\prime }\cdot [g,x]=[g^{\prime }g,x]$ で作用する左 $G$ 集合とする。

左 $G$ 集合 $Y$ を
$$Y=G/⟨g^2⟩\bigsqcup G/⟨g^3⟩\bigsqcup G$$
で定める（最後の $G$ には $G$ が左乗法で作用する）。$G$ 同変写像 $G{\times }_{H}X\to Y$ の個数を求めよ。

$M$ をモノイド（積を $mn$、単位元を $e$ と書く）とする。集合 $A$ と写像 $M\times A\to A,(m,a)\mapsto m\cdot a$ の組で、すべての $m,n\in M,a\in A$ に対して $e\cdot a=a$ かつ $m\cdot (n\cdot a)=(mn)\cdot a$ を満たすものを左 $M$ 集合という。左 $M$ 集合を対象とし、$M$ 同変写像（$h(m\cdot a)=m\cdot h(a)$ を満たす写像 $h$）を射とする圏を $M\text{-}\mathbf{Set}$ とし、作用を忘れる関手を $U:M\text{-}\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ とする。

集合 $X$ に対し、$M$ から $X$ へのすべての写像の集合を $R(X)$ とし、$m\in M,f\in R(X)$ に対して $m\cdot f\in R(X)$ を
$$(m\cdot f)(n)=f(nm)(n\in M)$$
で定める。また、写像 $g:X\to Y$ に対し $R(g):R(X)\to R(Y)$ を $R(g)(f)=g\circ f$ で定める。

次を証明せよ: $R$ は関手 $\mathbf{Set}\to M\text{-}\mathbf{Set}$ を定め、左 $M$ 集合 $A$ と集合 $X$ に対して
$${\Phi }_{A,X}:{\mathrm{Hom}}_{M\text{-}\mathbf{Set}}(A,R(X))\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(U(A),X),{\Phi }_{A,X}(\phi )(a)=\phi (a)(e)$$
で定まる写像は全単射であり、$A$ と $X$ について自然である。すなわち $U$ は $R$ の左随伴である（$U⊣R$）。

群 $K$ に対し、$K$ が左から作用する集合（左 $K$ 集合）と $K$ 同変写像のなす圏を $K\text{-}\mathbf{Set}$ とする。

$G=S_4$ を $\{1,2,3,4\}$ の置換全体のなす対称群とし、$\sigma =(1234)$ が生成する位数 $4$ の巡回部分群を $H=⟨\sigma ⟩$ とする。

左 $H$ 集合 $X=\{0,1,2,3\}\bigsqcup \{u,v\}\bigsqcup \{w\}$ を、$\sigma$ の作用
$$\sigma \cdot i=i+1(\mathrm{mod}4)(i\in \{0,1,2,3\}),\sigma \cdot u=v,\sigma \cdot v=u,\sigma \cdot w=w$$
で定める。$X$ の誘導 $G$ 集合を
$$G{\times }_{H}X=(G\times X)/\sim ,(gh,x)\sim (g,h\cdot x)(g\in G,h\in H,x\in X)$$
とし、$G$ は $g^{\prime }\cdot [g,x]=[g^{\prime }g,x]$ で作用させる。

また、$Y$ を $\{1,2,3,4\}$ の部分集合全体（$16$ 個）とし、$G$ を $g\cdot S=g(S)=\{g(s):s\in S\}$ で作用させた左 $G$ 集合とする。

$G$ 同変写像 $G{\times }_{H}X\to Y$ 全体の集合 ${\mathrm{Hom}}_{G\text{-}\mathbf{Set}}(G{\times }_{H}X,Y)$ の要素の個数を求めよ。

$G$ を有限群（単位元 $e$）とし、$n$ を正の整数とする。有限集合 $X$ と左作用 $G\times X\to X,(g,x)\mapsto gx$ の組を有限左 $G$ 集合といい、有限左 $G$ 集合を対象、$G$ 同変写像（$t(gx)=gt(x)$ をみたす写像 $t$）を射とする圏を $\mathcal{C}$ とする。

忘却関手 $U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$（$G$ 集合をその台集合に、$G$ 同変写像を写像そのものに送る）と、関手 $U^n:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$ を
$$U^n(X)=X^n=\underset{n}{\underbrace{X\times \cdots \times X}},U^n(t)(x_1,\dots ,x_n)=(t(x_1),\dots ,t(x_n))$$
で定める。$U^n$ から $U$ への自然変換全体の集合を $\mathrm{Nat}(U^n,U)$ とするとき、
$$|\mathrm{Nat}(U^n,U)|=n|G|$$
であることを示せ。

ただし、次の米田の補題は用いてよい: 圏 $\mathcal{D}$ の対象 $A$ と関手 $F:\mathcal{D}\to \mathbf{Set}$ に対し、$\alpha \mapsto {\alpha }_A({\mathrm{id}}_A)$ は $\mathrm{Nat}({\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(A,-),F)$ から $F(A)$ への全単射である。