圏論の問題

有限集合（空集合を含む）を対象とし、それらの間のすべての写像を射とする圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$1=\{\ast \}$ を 1 点集合とし、有限集合 $A$ の要素の個数を $|A|$ で表す。

関手 $F:\mathbf{FinSet}\to \mathbf{FinSet}$ が右随伴 $G:\mathbf{FinSet}\to \mathbf{FinSet}$ をもつ（$F⊣G$）とする。すなわち、すべての有限集合 $X,Y$ に対して、$X,Y$ について自然な全単射
$$\mathrm{Hom}(F(X),Y)\cong \mathrm{Hom}(X,G(Y))$$
が与えられているとする。

このとき、すべての有限集合 $X$ に対して
$$|F(X)|=|F(1)|\cdot |X|$$
が成り立つことを示せ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=B=\{0,1,2,\dots ,11\}$ とし、写像 $f,g:A\to B$ を
$$f(x)=(x^2\text{ を }12\text{ で割った余り}),g(x)=(3x\text{ を }12\text{ で割った余り})$$
で定める。$\mathbf{FinSet}$ における平行な射の組 $f,g:A\rightrightarrows B$ の余等化子（コイコライザー）$q:B\to Q$ をとるとき、集合 $Q$ の要素の個数を求めよ。

$k={\mathbb{F}}_3=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ とし、$k$ 上の有限次元ベクトル空間と $k$ 線形写像のなす圏を $\mathcal{V}$ とする。集合と写像のなす圏を $\mathbf{Set}$ とする。

$V\in \mathcal{V}$ に対し、$V{\otimes }_{k}V$ の部分空間 $W_V=\mathrm{span}\{v\otimes v\mid v\in V\}$ による商空間を ${\Lambda }^{2}V=(V{\otimes }_{k}V)/W_V$ とし、$v\otimes w$ の像を $v\wedge w$ と書く。線形写像 $f:V\to V^{\prime }$ に対し $f\otimes f$ は $W_V$ を $W_{V^{\prime }}$ に移すので、線形写像 ${\Lambda }^{2}f:v\wedge w\mapsto f(v)\wedge f(w)$ が定まる。

関手 $F,G:\mathcal{V}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。
- $F(V)=(V\times V)\bigsqcup (V\times V\times V)$（集合としての直積の非交和）とし、線形写像 $f$ に対して $F(f)$ は各成分に $f$ を施す写像 $(v,w)\mapsto (f(v),f(w))$, $(u,v,w)\mapsto (f(u),f(v),f(w))$ とする。
- $G(V)$ は ${\Lambda }^{2}V$ の台集合とし、$G(f)={\Lambda }^{2}f$ とする。

自然変換 $F\Rightarrow G$ の個数を求めよ（自然変換の成分は線形である必要はなく、単なる写像でよい）。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。$A=B=\{1,2,3,\dots ,10\}$、$C=\{0,1,2\}$ とし、写像 $f:A\to C$, $g:B\to C$ を
$$f(a)=(a\text{を}3\text{で割った余り}),g(b)=(b^2\text{を}3\text{で割った余り})$$
で定める。

$\mathbf{FinSet}$ における $f$ と $g$ の引き戻し（ファイバー積）を $P=A{\times }_{C}B$ とし、その射影を $p_1:P\to A$, $p_2:P\to B$ とする。さらに、スパン $A\stackrel{p_1}{\leftarrow }P\stackrel{p_2}{\to }B$ の $\mathbf{FinSet}$ における押し出しを $Q$ とする。

集合 $P$ の要素の個数と集合 $Q$ の要素の個数を、この順に組 $(|P|,|Q|)$ で答えよ。

有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。関手 $F:\mathbf{FinSet}\to \mathbf{FinSet}$ を次のように定める。

• 有限集合 $X$ に対して $F(X)=X^4=X\times X\times X\times X$
• 写像 $f:X\to Y$ に対して $F(f)(x_1,x_2,x_3,x_4)=(f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4))$

自然変換 $\eta :F\Rightarrow F$ のうち、自分自身との垂直合成について $\eta \circ \eta =\eta$ を満たすものの個数を求めよ。ここで $\eta \circ \eta =\eta$ とは、すべての有限集合 $X$ について ${\eta }_X\circ {\eta }_X={\eta }_X$ が成り立つことをいう。