圏論の問題

$M=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}=\{0,1,2,\dots ,11\}$ を、$12$ を法とする乗法によりモノイド（単位元 $1$）とみなす。

$M$ から次のように圏 $\mathcal{K}(M)$ を作る。
- 対象は、$M$ の冪等元、すなわち $e\cdot e=e$ を満たす $e\in M$ である。
- 対象 $e$ から $f$ への射の集合を $$\mathrm{Hom}(e,f)=\{m\in M\mid f\cdot m\cdot e=m\}$$ と定める。
- 射 $m:e\to f$ と $n:f\to g$ の合成を $n\cdot m:e\to g$ とし、対象 $e$ の恒等射を $e$ とする。

（これは $M$ の冪等元完備化（カルービ包絡）と呼ばれる圏である。）圏 $\mathcal{K}(M)$ の射の総数、すなわち対象の順序対 $(e,f)$ すべてにわたる $|\mathrm{Hom}(e,f)|$ の和を求めよ。

$M$ をモノイド（積を $mn$、単位元を $e$ と書く）とする。集合 $A$ と写像 $M\times A\to A,(m,a)\mapsto m\cdot a$ の組で、すべての $m,n\in M,a\in A$ に対して $e\cdot a=a$ かつ $m\cdot (n\cdot a)=(mn)\cdot a$ を満たすものを左 $M$ 集合という。左 $M$ 集合を対象とし、$M$ 同変写像（$h(m\cdot a)=m\cdot h(a)$ を満たす写像 $h$）を射とする圏を $M\text{-}\mathbf{Set}$ とし、作用を忘れる関手を $U:M\text{-}\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ とする。

集合 $X$ に対し、$M$ から $X$ へのすべての写像の集合を $R(X)$ とし、$m\in M,f\in R(X)$ に対して $m\cdot f\in R(X)$ を
$$(m\cdot f)(n)=f(nm)(n\in M)$$
で定める。また、写像 $g:X\to Y$ に対し $R(g):R(X)\to R(Y)$ を $R(g)(f)=g\circ f$ で定める。

次を証明せよ: $R$ は関手 $\mathbf{Set}\to M\text{-}\mathbf{Set}$ を定め、左 $M$ 集合 $A$ と集合 $X$ に対して
$${\Phi }_{A,X}:{\mathrm{Hom}}_{M\text{-}\mathbf{Set}}(A,R(X))\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(U(A),X),{\Phi }_{A,X}(\phi )(a)=\phi (a)(e)$$
で定まる写像は全単射であり、$A$ と $X$ について自然である。すなわち $U$ は $R$ の左随伴である（$U⊣R$）。

群 $K$ に対し、対象がただ $1$ つ $\ast$ で、射 $\ast \to \ast$ が $K$ の元、射の合成が $K$ の積、恒等射が単位元であるような圏を $\mathbf{B}K$ とする。

$V=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ とし、$D_4=⟨r,s\mid r^4=s^2=1,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$ を位数 $8$ の二面体群とする。関手 $\mathbf{B}V\to \mathbf{B}{D}_4$ を対象、それらの間の自然変換を射とする関手圏 $[\mathbf{B}V,\mathbf{B}{D}_4]$ を考える。

この関手圏の射の総数、すなわち関手の組 $(F,F^{\prime })$ すべてにわたる自然変換 $F\Rightarrow F^{\prime }$ の個数の和
$$\sum _{F,F^{\prime }}\#\mathrm{Nat}(F,F^{\prime })$$
を求めよ。

$N\ge 2$ を整数とし、その素因数分解を $N=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}$（$p_1,\dots ,p_r$ は相異なる素数、$e_1,\dots ,e_r$ は正の整数）とする。$N$ の正の約数全体の集合を $D(N)$ とし、整除関係 $a\mid b$ による半順序集合 $(D(N),\mid )$ を圏 $\mathcal{C}$ とみなす。すなわち $\mathcal{C}$ の対象は $D(N)$ の要素で、$a,b\in D(N)$ に対し $a\mid b$ のとき ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(a,b)$ はただ 1 つの射 $a\to b$ からなり、そうでないとき空集合である（合成は一意に定まるものとする）。

正の整数 $k$ に対して、$\mathcal{C}$ の射の列 $(f_1,f_2,\dots ,f_k)$ で、各 $1\le j\le k-1$ について $f_j$ の終域と $f_{j+1}$ の始域が一致するもの（合成可能な $k$ 個の射の列）全体の集合を ${\mathcal{C}}_k$ とする（${\mathcal{C}}_1$ は $\mathcal{C}$ の射全体）。このとき
$$|{\mathcal{C}}_k|=\prod _{i=1}^r\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{e_i+k+1}{k+1}\right)$$
が成り立つことを示せ。素因数分解の一意性は用いてよい。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 ${\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことである。

小さい圏 $\mathcal{C}$ の脈体（nerve）$N\mathcal{C}$ を、$n$ 単体の集合 $N{\mathcal{C}}_n$ が $\mathcal{C}$ の合成可能な射の列
$$c_0\stackrel{f_1}{\to }{c}_1\stackrel{f_2}{\to }\cdots \stackrel{f_n}{\to }{c}_n$$
全体（$n=0$ のときは対象全体）であり、面写像が射の合成（両端では射の除去）、退化写像が恒等射の挿入で与えられる単体的集合とする。$n$ 単体が非退化であるとは、それがどの退化写像の像にも入らないことをいう。

圏 $\mathcal{C}$ を次で定める。対象は $x,y$ の $2$ つで、射は
$$\mathrm{Hom}(x,x)=\{{\mathrm{id}}_x\},\mathrm{Hom}(x,y)=\{u\},\mathrm{Hom}(y,x)=\{v\},\mathrm{Hom}(y,y)=\{{\mathrm{id}}_y,e\}$$
であり、恒等射以外の合成は
$$v\circ u={\mathrm{id}}_x,u\circ v=e,e\circ e=e,e\circ u=u,v\circ e=v$$
で与えられる。

脈体 $N\mathcal{C}$ の非退化な $10$ 単体の個数を求めよ。