圏論の問題

方針. 半順序集合の間の関手は、順序を保つ写像（$p\le q\Rightarrow F(p)\le F(q)$ を満たす対象の写像）と $1$ 対 $1$ に対応する。したがって、順序を保つ写像 $S\to C$ の個数を数えればよい。

1. 関手と順序を保つ写像. 関手 $F$ は $p\le q$ の射を $F(p)\to F(q)$ の射に送るので $F(p)\le F(q)$ でなければならない。逆に順序を保つ写像が与えられれば、$\mathcal{C}$ の $2$ 対象の間の射は高々 $1$ つなので射の行き先は自動的に決まり、恒等射と合成も保たれる。よって関手は対象の写像だけで決まり、その条件は「順序を保つ」ことだけである。

2. 条件を書き出す. $S$ の元を $s_{00}=(0,0)$, $s_{01}=(0,1)$, $s_{10}=(1,0)$, $s_{11}=(1,1)$ とし、$x=F(s_{00})$, $y=F(s_{01})$, $z=F(s_{10})$, $w=F(s_{11})$ とおく。$S$ の順序は $s_{00}\le s_{01}\le s_{11}$, $s_{00}\le s_{10}\le s_{11}$ から生成されるので、条件は
$$x\le y\le w,x\le z\le w$$
である（$y$ と $z$ の間には条件がない）。

3. 数える. まず $x\le w$ となる $(x,w)$ を選ぶと、$y,z$ はそれぞれ $\{x,x+1,\dots ,w\}$ の $w-x+1$ 個から独立に選べるので、積の法則で $(w-x+1{)}^2$ 通り。$w-x$ の値で分けて和の法則を使う。
- $w-x=0$: $(x,w)=(0,0),(1,1),(2,2)$ の $3$ 通り、それぞれ $1^2=1$ 通り。計 $3$
- $w-x=1$: $(0,1),(1,2)$ の $2$ 通り、それぞれ $2^2=4$ 通り。計 $8$
- $w-x=2$: $(0,2)$ の $1$ 通り、$3^2=9$ 通り。計 $9$

合計 $3+8+9=20$。

よって関手 $F:\mathcal{S}\to \mathcal{C}$ は $20$ 個ある。

半順序集合の間の関手は単調写像（$p\le q\Rightarrow F(p)\le F(q)$）と同じである（射が高々 1 つで、恒等射と合成は自動的に保たれる）。したがって単調写像 $f:\{0,1{\}}^2\to \{0,1,2\}$ の個数を数える。

$a=f(0,0)$, $b=f(0,1)$, $c=f(1,0)$, $d=f(1,1)$ とおくと、条件は $a\le b\le d$ かつ $a\le c\le d$（$(0,1)$ と $(1,0)$ は比較不能）。$a\le d$ を固定すると $b,c$ はそれぞれ $a$ 以上 $d$ 以下の任意の値で独立なので $(d-a+1{)}^2$ 通り。

• $d-a=0$: $(a,d)=(0,0),(1,1),(2,2)$ の 3 組、各 $1$ 通りで $3$
• $d-a=1$: $(0,1),(1,2)$ の 2 組、各 $4$ 通りで $8$
• $d-a=2$: $(0,2)$ の 1 組、$9$ 通りで $9$

合計 $3+8+9=20$。

検算: 別の数え方として、$b,c$ を先に決める。$(b,c)$ ごとに $a\in [0,\min (b,c)]$ が $\min (b,c)+1$ 通り、$d\in [\max (b,c),2]$ が $3-\max (b,c)$ 通り。$(b,c)$ を全 9 通りで和をとると: $(0,0)$:1·3=3, $(0,1),(1,0)$:各 1·2=2 で 4, $(0,2),(2,0)$:各 1·1=1 で 2, $(1,1)$:2·2=4, $(1,2),(2,1)$:各 2·1=2 で 4, $(2,2)$:3·1=3。合計 $3+4+2+4+4+3=20$ で一致。