分光学と構造解析の問題

メタン $\mathrm{C}{\mathrm{H}}_4$ 分子は正四面体形で、点群 $T_d$ に属する。$T_d$ の指標表を次に示す。

メタンの 5 個の原子の変位（$3\times 5=15$ 次元）がつくる表現は
$${\Gamma }_{3N}=A_1+E+T_1+3T_2$$
と簡約される。基準振動のうち赤外活性なものの数とラマン活性なものの数を、この順に組で求めよ。ただし、縮重した基準振動（同じ既約表現 $E$ や $T_2$ に属する 1 組の振動）は 1 つと数える。

ホルムアルデヒド ${\mathrm{H}}_2\mathrm{CO}$ は平面分子で、点群 $C_{2v}$ に属する。$\mathrm{C}=\mathrm{O}$ 結合を $C_2$ 軸（$z$ 軸）にとり、分子は $yz$ 平面上にあるとする。$C_{2v}$ の指標表は次のとおりである（位数 $h=4$、各類の操作は 1 個ずつ）。

4 個の原子それぞれに $x,y,z$ 方向の変位をとった 12 次元の表現 ${\Gamma }_{3N}$ を考える。各対称操作で動かない原子 1 個あたりの指標への寄与は、$E$ で $3$、$C_2$ で $-1$、鏡映 $\sigma$ で $1$ であり、動く原子の寄与は $0$ である。簡約公式
$$n_i=\frac{1}{h}\sum _R\chi (R){\chi }_i(R)$$
を用いて ${\Gamma }_{3N}$ を既約表現に簡約したとき、$A_1,A_2,B_1,B_2$ がそれぞれ何回含まれるかを求め、$(n_{A_1},n_{A_2},n_{B_1},n_{B_2})$ の組の形でこの順に答えよ。

ある異核二原子分子の気体の赤外吸収スペクトルで、$v=0\to 1$ の振動回転遷移を観測した。R 枝の線 $\mathrm{R}(0)$ の波数は $2925.40\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$、P 枝の線 $\mathrm{P}(1)$ の波数は $2884.60\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ であった。線の波数は、振動の基本波数 ${\tilde{\nu }}_0$ と回転定数 $B$（$v=0$ と $v=1$ で等しいとする）を用いて
$$\mathrm{R}(J)={\tilde{\nu }}_0+2B(J+1),\mathrm{P}(J)={\tilde{\nu }}_0-2BJ$$
で表されるものとする（$J$ は始状態 $v=0$ の回転量子数）。この分子の回転定数 $B$ は何 $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

炭素と水素だけからなる化合物 $\mathrm{X}$ がある。元素分析の結果、質量パーセントは炭素 $88.2\%$、水素 $11.8\%$ であり、質量スペクトルの分子イオンのピークは $m/z=136$ に現れた。また、$\mathrm{X}$ $0.0500\mathrm{mol}$ を触媒の存在下で水素と完全に反応させたところ、${\mathrm{H}}_2$ が $0.100\mathrm{mol}$ 吸収された。$\mathrm{X}$ は三重結合をもたず、水素化では炭素–炭素二重結合だけがすべて水素化され、環は開かないものとする。原子量は $\mathrm{H}=1.0$、$\mathrm{C}=12.0$ とし、分子イオンの $m/z$ は分子量に等しいとする。$\mathrm{X}$ の分子 1 個に含まれる環の数を求めよ。

${}^1{\mathrm{H}}^{19}\mathrm{F}$ 分子の振動を調和振動子とみなしたとき、その振動波数は $\tilde{\nu }=4140\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ である。水素を重水素に置き換えた ${}^2{\mathrm{H}}^{19}\mathrm{F}$ 分子の振動波数は何 $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、原子の質量は ${}^1\mathrm{H}$: $1.00\mathrm{u}$、${}^2\mathrm{H}$: $2.00\mathrm{u}$、${}^{19}\mathrm{F}$: $19.0\mathrm{u}$ とし、同位体置換によって結合の力の定数は変わらないものとする。