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とちゅうで速さが変わる移動と平均の速さ

区間ごとに速さが変わる移動について、区間ごとの時間や道のりを求めてかかった時間の合計を求め、往復などの平均の速さを「道のりの合計 ÷ 時間の合計」で求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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  1. 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
  2. 速さ・時間・道のりの関係 （算数 速さ）

説明

行きは歩いて帰りは走る、前半と後半で速さを変える、のように、とちゅうで速さが変わる移動について、区間ごとの時間や道のりを求め、全体でかかった時間を求められるようになります。また、往復などの全体を 1 つの速さで進んだとみたときの「平均の速さ」を、「道のりの合計 ÷ 時間の合計」で正しく求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

速さが変わる移動では、「道のり ＝ 速さ × 時間」は同じ速さで進んでいる区間ごとにしか使えません。だから、区間に分けて、それぞれの区間で時間や道のりを求め、最後に合計します。

平均の速さとは、「全体の道のりを、全体の時間で、ずっと同じ速さで進んだとしたら、その速さはいくつか」ということです。速さ ＝ 道のり ÷ 時間 なので、平均の速さ ＝ 道のりの合計 ÷ 時間の合計 になります。

ここで、速さどうしを平均して「(行きの速さ ＋ 帰りの速さ) ÷ 2」としてはいけません。たとえば 1200 m を行きは分速 60 m（20 分）、帰りは分速 40 m（30 分）で往復すると、おそい帰りのほうが長い時間かかっています。時間の長いほうの速さの影響が大きくなるので、平均の速さは 50 m ではなく、 で分速 48 m になり、まん中より少しおそいほうに寄ります。

手順

  1. 移動を、速さが同じ区間ごとに分け、それぞれの区間の速さ・時間・道のりのうちわかっているものを書き出す。

  2. 単位をそろえる（分速なら分と m、時速なら時間と km など）。

  3. 区間ごとに、時間 ＝ 道のり ÷ 速さ、または 道のり ＝ 速さ × 時間 で、わからない量を求める。

  4. 全体の道のりの合計と、全体の時間の合計を求める（往復なら道のりは片道の 2 倍）。

  5. 平均の速さを求めるときは、道のりの合計 ÷ 時間の合計 を計算する。

例題

家から 1200 m はなれた公園まで、行きは分速 60 m、帰りは分速 40 m で歩いて往復しました。往復の平均の速さは分速何 m ですか。

例題の解答

手順 1: 行き（1200 m、分速 60 m）と帰り（1200 m、分速 40 m）の 2 つの区間に分けます。

手順 2: 速さが分速、道のりが m なので、時間は分でそろいます。

手順 3: 行きの時間は 分、帰りの時間は 分です。

手順 4: 道のりの合計は m、時間の合計は 分です。

手順 5: 平均の速さは で、分速 48 m です。

確かめ: 分速 48 m で 50 分進むと m で、往復の道のりと合っています。

よって、平均の速さは分速 48 m です。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

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