密度を使った鉱物の割合

岩石の質量と体積、2 種類の鉱物の密度から、1 次方程式を立てて有色鉱物がしめる体積の割合を求められる（質量＝密度×体積）

前提

火成岩の鉱物の割合（中学理科大地の変化）
2 種類の物質を合わせたものの質量と体積（中学理科身のまわりの物質）

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2 種類の物質を合わせたものの質量と体積（中学理科身のまわりの物質）

説明

火成岩は、黒っぽい有色鉱物と白っぽい無色鉱物が集まってできています。有色鉱物は無色鉱物より密度が大きいので、有色鉱物が多い岩石ほど同じ体積でも重くなります。この技能を使うと、岩石の質量と体積を測り、2 種類の鉱物の密度がわかっていれば、表面の点を数えなくても、有色鉱物が岩石の体積の何 % をしめるかを 1 次方程式で求められます。

なぜそうしてよいのか

岩石を「有色鉱物の部分」と「無色鉱物の部分」の 2 つをくっつけたものと考えます。すると、前提の技能の「2 種類の物質を合わせたもの」と同じように、次の 2 つが成り立ちます。

(1) 体積の和：有色鉱物の体積＋無色鉱物の体積＝岩石全体の体積
(2) 質量の和：有色鉱物の質量＋無色鉱物の質量＝岩石全体の質量

それぞれの部分の質量は「質量＝密度×体積」で表せます。そこで岩石全体の体積を $V$ cm³、有色鉱物の体積を $x$ cm³ とおくと、(1) から無色鉱物の体積は $V - x$ cm³ と表せ、(2) に代入すれば $x$ だけの 1 次方程式になります。密度のちがう 2 つを混ぜると、全体の質量は「どちらがどれだけ入っているか」によって変わるので、逆に全体の質量から混ざり方（体積）が 1 つに決まるのです。

最後に、有色鉱物の体積を全体の体積でわって 100 をかければ、体積の割合（%）になります。なお、この方法ではすき間がなく、岩石が 2 種類の鉱物だけでできていると考えています。

手順

岩石全体の体積を $V$ cm³ とし、有色鉱物の体積を $x$ cm³ とおいて、無色鉱物の体積を $V - x$ cm³ と表す
それぞれの質量を「質量＝密度×体積」で表す。有色鉱物の密度を $a$ g/cm³、無色鉱物の密度を $b$ g/cm³ とすると、有色鉱物は $a \times x$ g、無色鉱物は $b \times (V - x)$ g
質量の和が岩石全体の質量 $M$ g に等しいという 1 次方程式 $a x + b (V - x) = M$ を立てる
方程式を解いて $x$ を求める
体積の割合を求める： $\frac{x}{V} \times 100$ （%）

例題

ある火成岩の質量をはかると 142 g、体積をはかると 50 cm³ であった。この岩石は有色鉱物と無色鉱物の 2 種類だけでできていて、すき間はないものとする。有色鉱物の密度を 3.4 g/cm³、無色鉱物の密度を 2.6 g/cm³ とするとき、この岩石の体積のうち有色鉱物がしめる割合は何 % ですか。

例題の解答

手順 1：有色鉱物の体積を $x$ cm³ とおくと、無色鉱物の体積は $(50 - x)$ cm³ です。

手順 2：有色鉱物の質量は $3.4 x$ g、無色鉱物の質量は $2.6 (50 - x)$ g です。

手順 3：質量の和が 142 g なので
$3.4 x + 2.6 (50 - x) = 142$

手順 4：かっこをはずすと $3.4 x + 130 - 2.6 x = 142$ 、よって $0.8 x = 12$ 、 $x = 15$ 。有色鉱物の体積は 15 cm³ です（このとき無色鉱物は 35 cm³ で、質量は $3.4 \times 15 + 2.6 \times 35 = 51 + 91 = 142$ g となり合っています）。

手順 5：体積の割合は
$\frac{15}{50} \times 100 = 30$
よって、有色鉱物がしめる割合は 30 % です。

答え: $30$

よくある誤り

密度を平均して考えてしまう誤り。岩石全体の密度 $142 \div 50 = 2.84$ g/cm³ が $3.4$ と $2.6$ のちょうど真ん中 $3.0$ ではないのに「半分ずつ」としたり、 $\frac{2.84}{3.4} \times 100$ のように割合を出したりするのは誤り。正しくは体積を $x$ とおいて $3.4 x + 2.6 (50 - x) = 142$ を解く。
質量と体積を混同して、方程式の右辺に体積を入れてしまう誤り。 $3.4 x + 2.6 (50 - x) = 50$ のように書くのは誤りで、左辺は質量（g）なので右辺も質量 142 g にする。
体積ではなく質量の割合を答えてしまう誤り。有色鉱物の質量は $51$ g なので $\frac{51}{142} \times 100$ を計算するのは、問われている「体積の割合」ではない。正しくは $\frac{15}{50} \times 100 = 30$ %。
求めた $x$ （有色鉱物の体積 15 cm³）をそのまま割合として答えてしまう誤り。正しくは全体の体積 50 cm³ でわって 100 をかけ、 $\frac{15}{50} \times 100 = 30$ % とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある火成岩のかけらは、有色鉱物と無色鉱物の 2 種類だけでできています。このかけらの質量は $112 g$ 、体積は $40 cm^{3}$ でした。有色鉱物の密度を $3.4 g/cm^{3}$ 、無色鉱物の密度を $2.6 g/cm^{3}$ とします。このかけらの体積のうち、有色鉱物がしめる体積の割合は何 % ですか。ただし、かけらの中にすき間はないものとします。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

鉱物の組成と SiO₂ の量（高校地学地震と火山）