直列と並列を組み合わせた回路

並列部分と電熱線を直列につないだ回路で、並列部分を 1 つの抵抗にまとめたり、各部分の電圧の和が電源の電圧になることを使ったりして、各電熱線の電流・電圧や、わからない抵抗（可変抵抗器の値など）を求められる

前提

直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）

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オームの法則（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）

説明

電熱線を 2 本並列につないだ部分に、さらに別の電熱線を直列につないだ回路のように、直列と並列が組み合わさった回路を扱います。並列部分を 1 本の抵抗にまとめると回路全体が単純な直列回路になるので、全体の電流を求め、そこから各部分の電圧や各電熱線の電流を順に求めることができます。可変抵抗器などのわからない抵抗の値も、同じ考え方で求められます。

なぜそうしてよいのか

並列につながった 2 本の電熱線は、両端に同じ電圧 $V_{p}$ がかかり、流れ込む電流 $I$ は 2 本に分かれて $I = I_{1} + I_{2}$ となります。このとき並列回路で学んだように、 $\frac{1}{R _{p}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ で決まる $R_{p}$ を使うと $V_{p} = R_{p} I$ が成り立ちます。つまり回路の外から見ると、この並列部分は抵抗 $R_{p}$ の電熱線 1 本とまったく同じはたらきをします。

そこで並列部分を $R_{p}$ の 1 本に置きかえると、回路は「 $R_{p}$ ともう 1 本の電熱線 $R_{3}$ の直列回路」になります。直列回路なので、全体の抵抗は $R = R_{p} + R_{3}$ 、電源から流れる電流はどこでも同じ $I = \frac{V}{R}$ 、各部分の電圧の和は電源の電圧 $V = V_{p} + V_{3}$ です。

全体の電流がわかったら、置きかえる前の回路にもどります。並列部分の電圧 $V_{p} = R_{p} I$ は、並列部分の 2 本の電熱線のどちらにもそのままかかるので、各電熱線の電流は $I_{1} = \frac{V _{p}}{R _{1}}$ 、 $I_{2} = \frac{V _{p}}{R _{2}}$ で求まります。このように「まとめる → 直列として解く → もどす」の順に進めれば、複雑に見える回路でも、すでに知っている直列と並列の決まりだけで解けます。

手順

回路のどの部分が並列で、どの部分が直列かを見分ける
並列部分を 1 つの抵抗にまとめる： $\frac{1}{R _{p}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$
まとめた回路を直列回路として、全体の抵抗 $R = R_{p} + R_{3}$ と電源から流れる電流 $I = \frac{V}{R}$ を求める
各部分の電圧を求める： $V_{3} = R_{3} I$ 、 $V_{p} = R_{p} I$ （または $V_{p} = V - V_{3}$ ）
並列部分にもどり、各電熱線の電流を求める： $I_{1} = \frac{V _{p}}{R _{1}}$ 、 $I_{2} = \frac{V _{p}}{R _{2}}$ 。最後に $I_{1} + I_{2} = I$ になるか確かめる
わからない抵抗があるときは、わかっている電圧・電流から逆にたどり、オームの法則でその抵抗を求める

例題

抵抗が $20 Ω$ の電熱線 B と $30 Ω$ の電熱線 C を並列につなぎ、その並列部分に $8.0 Ω$ の電熱線 A を直列につないで、電圧 $10 V$ の電源につないだ。電熱線 C に流れる電流は何 A か求めよ。

例題の解答

【手順 1】B と C が並列部分、その並列部分と A が直列につながっている。

【手順 2】並列部分の抵抗 $R_{p}$ は
$\frac{1}{R _{p}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{1}{12}$
より $R_{p} = 12 Ω$ 。

【手順 3】全体の抵抗は $R = 12 + 8.0 = 20 Ω$ なので、電源から流れる電流は
$I = \frac{10}{20} = 0.50 (A)$

【手順 4】A の電圧は $V_{A} = 8.0 \times 0.50 = 4.0 V$ 。並列部分の電圧は
$V_{p} = 10 - 4.0 = 6.0 (V)$
（ $V_{p} = 12 \times 0.50 = 6.0 V$ でも同じ。）

【手順 5】C には $6.0 V$ がかかるので
$I_{C} = \frac{6.0}{30} = 0.20 (A)$
確かめ：B の電流は $\frac{6.0}{20} = 0.30 A$ で、 $0.30 + 0.20 = 0.50 A$ が全体の電流と一致する。

よって C に流れる電流は $0.2 A$ 。

答え: $0.2$

よくある誤り

並列部分の電熱線に電源の電圧がそのままかかるとしてしまう誤り（ $I_{C} = \frac{10}{30}$ とするなど）。正しくは直列の A でも電圧が使われるので、並列部分の電圧は $V_{p} = 10 - 4.0 = 6.0 V$ で、 $I_{C} = \frac{6.0}{30} = 0.20 A$
全体の抵抗を、すべての電熱線の抵抗を足して求めてしまう誤り（ $8.0 + 20 + 30 = 58 Ω$ など）。正しくは並列部分を先にまとめて $R_{p} = 12 Ω$ とし、 $R = 12 + 8.0 = 20 Ω$
全体の電流が並列部分の各電熱線にもそのまま流れるとしてしまう誤り（C の電流を $0.50 A$ とするなど）。正しくは並列部分で電流は分かれ、 $I_{B} + I_{C} = 0.30 + 0.20 = 0.50 A$
並列部分をまとめるときに $\frac{1}{R _{p}}$ の値を $R_{p}$ と取りちがえる誤り（ $\frac{1}{12}$ を抵抗として足すなど）。正しくは逆数にもどして $R_{p} = 12 Ω$ にしてから直列の和をとる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
抵抗が $6 Ω$ の電熱線 B と、抵抗が $12 Ω$ の電熱線 C を並列につなぎ、この並列部分と抵抗が $8 Ω$ の電熱線 A を直列につないだ。この回路を電圧が $6 V$ の電源につないだ。導線や電源の抵抗は考えないものとする。このとき、電熱線 A に流れる電流は何 A ですか。
$6 V$ 電熱線A（ $8 Ω$ ）電熱線B（ $6 Ω$ ）電熱線C（ $12 Ω$ ）

直列と並列を組み合わせた回路

前提

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手順

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よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題